《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第06课时 直线与椭圆的位置关系（解析版）

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第 6 课时 直线与椭圆的位置关系
编写：廖云波
【回归教材】
1.直线与椭圆的位置关系
设直线 ，椭圆 ，
把二者方程联立得到方程组，消去 得到一个关于 的方程 .
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
2. 弦长的求解
当直线的斜率存在时，斜率为 k的直线 l与圆锥曲线 C相交于
两个不同的点，则弦长
.
3.中点弦问题
AB 为椭圆 的弦， ，
弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在直线的斜率为 ，
弦AB 的斜率与弦中点 M和椭圆中心 O的连线的斜率之积为定值 .
【典例讲练】
题型一 直线与椭圆的位置关系
【例 1-1】已知椭圆 C的两个焦点分别是 ､，且椭圆 C经过点 .
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)当m取何值时，直线 与椭圆 C：
①有两个公共点；
②只有一个公共点；
③没有公共点？
【答案】(1)
(2)①；② ；③ 或
【解析】
【分析】
（1）由题意 c=1，将点 的坐标代入椭圆的标准方程即可；
（2）联立直线与椭圆方程，根据判别式求解即可.
(1)
设椭圆 C的标准方程为 ，
由题意可得： 解得 ，
所以椭圆 C的标准方程为： ；
(2)
联立 消去 y得： ，
则 ，
①当 ，即 时，方程有两个不同的实数根，
所以直线 与椭圆 C有两个公共点；
②当 ，即 时，方程有两个相等的实数根，
所以直线 与椭圆 C只有一个公共点；
③当 ，即 或 时，方程无实数根，
所以直线 与椭圆 C没有公共点；
综上，当 时有两个公共点；
当 时，有一个公共点；
当 或 ，没有公共点.
【例 1-2】已知直线 l： ，曲线 C： ，则直线 l与曲线 C的位置关系是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
求出直线所过的定点，证明该定点在椭圆内部即可得出结论.
【详解】
解：由直线 l： ，得直线 l过定点 ，
因为 ，所以该点在曲线 C： 内部.
所以直线 l与曲线 C相交.
故选：C.
【例 1-3】设椭圆 ，点 在椭圆上，求该椭圆在 P处的切线方程______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为 ，代入椭圆方程中整理化简，令判别式等于
零，可求出 的值，从而可求得切线方程
【详解】
由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为 ，
将 代入 中得，
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