《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第5课时 基本不等式（原卷版）

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第 5 课时 基本不等式
编写：廖云波
【回归教材】
1.基本不等式
如果
a>0，b>0
，那么
√
ab≤a+b
2
，当且仅当
a=b
时，等号成立．其中，
a+b
2
叫作
a，b
的算术平均数，
√
ab
叫作
a，b
的几何平均数．即正数
的算术平均数 它们的几何平均数．
2.几个重要的不等式
（1）基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： （ 同号）.
（2）其他变形：
①(沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
②(沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③(沟通两积 与两和 的不等关系式)
④重要不等式串： 即
3.均值定理已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“
”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即 ”.
4.常见求最值模型
模型一：
mx+n
x≥2
√
mn(m>0, n>0)
，当且仅当
x=
√
n
m
时等号成立；
模型二：
mx+n
x−a=m(x−a)+ n
x−a+ma≥2
√
mn+ma(m>0, n>0)
，当且仅当
x−a=
√
n
m
时等号成立；
模型三：
x
ax2+bx+c=1
ax +b+c
x
≤1
2
√
ac+b(a>0, c>0)
，当且仅当 时等号成立；
模型四：
x(n−mx )= mx (n−mx)
m≤1
m⋅（mx+n−mx
2)2=n2
4m(m>0, n>0,0<x<n
m)
，当且仅当 时等号成
立.
【典例讲练】
题型一 利用基本不等式求最值
【例 1-1】对勾函数 求下列函数的最值
（1）已知 ，则函数 的最大值为___________.
（2）已知 ，则函数 的最小值为___________.
（3）已知 ，则函数 的最小值为___________.
【例 1-2】最值定理（1）已知 ，则 取得最大值时 的值为________．
（2）若 x，y为实数，且 ，则 的最小值为（）
A．18 B．27 C．54 D．90
【例 1-3】“ 1”
的妙用 （1）若正实数 满足 ，则 的最小值为___________.
（2）已知 ， ，且 ，则 的最小值为__________.
【例 1-4】分离常数法 当 时，函数 的最小值为___________．
【例 1-5】换元法 已知正数 x，y满足 ，则 的最小值（）
A．B．C．D．
【例 1-6】消元法 已知正实数 a，b满足 ，则 的最小值是（　　）
A．2 B．C．D．6
【例 1-7】一元二次不等式法 已知 ， ， ，则 的最大值为________．
【例 1-8】拆项法 是不同时为 0的实数，则 的最大值为（）
A．B．C．D．
【练习 1-1】（1）已知 ，求函数 的值域；
（2）已知 ， ，且 ，求： 的最小值．
【练习 1-2】已知正实数 a，b满足 ，则 的最小值为（）
A．B．C．D．
【练习 1-3】已知对任意正实数 ， ，恒有 ，则实数 的最小值是___________.
【练习 1-4】已知正数 a，b满足 ，则 的最小值为（）
A．1 B．C．4 D．5
【练习 1-5】设 ， ，若 ，则 的最大值为（）
A．B．C．D．
题型二 求数、式的范围
【例 2-1】若正数 a，b满足 ab＝a＋b＋3，则
(1)ab 的取值范围是__ ；
(2)a＋b的取值范围是 ．
【例 2-2】已知 ， ，当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 。
【练习 2-1】若 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A．9 B．16 C．49 D．81
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