《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第5课时 基本不等式（解析版）

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第 5 课时 基本不等式
编写：廖云波
【回归教材】
1.基本不等式
如果
a>0，b>0
，那么
√
ab≤a+b
2
，当且仅当
a=b
时，等号成立．其中，
a+b
2
叫作
a，b
的算术平均数
√
ab
叫作
a，b
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2.几个重要的不等式
（1）基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： （ 同号）.
（2）其他变形：
①(沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
②(沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③(沟通两积 与两和 的不等关系式)
④重要不等式串： 即
3.均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有最
小值”.
4.常见求最值模型
模型一：
mx+n
x≥2
√
mn(m>0, n>0)
，当且仅当
x=
√
n
m
时等号成立；
模型二：
mx+n
x−a=m(x−a)+ n
x−a+ma≥2
√
mn+ma(m>0, n>0)
，当且仅当
x−a=
√
n
m
时等号成立；
模型三：
x
ax2+bx+c=1
ax +b+c
x
≤1
2
√
ac+b(a>0, c>0)
，当且仅当
x=
√
c
a
时等号成立；
模型四：
x(n−mx )= mx (n−mx)
m≤1
m⋅（mx+n−mx
2)2=n2
4m(m>0, n>0,0<x<n
m)
，当且仅当
x=n
2m
时等
号成立.
【典例讲练】
题型一 利用基本不等式求最值
【例 1-1】对勾函数 求下列函数的最值
（1）已知 ，则函数 的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式.
【详解】
因为 ，所以 ， ,
当且仅当 ，即 时，等号成立.故当 时，
取最大值，即 .
故答案为：3.
（2）已知 ，则函数 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式.
【详解】
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故当 时，
取最小值，即 .
故答案为：3.
（3）已知 ，则函数 的最小值为___________.
【答案】
【例 1-2】最值定理（1）已知 ，则 取得最大值时 的值为________．
【答案】•••• ••••
【解析】
【分析】
（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
【详解】
解：（1） ，
当且仅当 ，即 时，取等号．
故答案为： .
（2）若 x，y为实数，且 ，则 的最小值为（）
A．18 B．27 C．54 D．90
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