《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第4课时 复数（解析版）

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第 3 课时 复数
编写：廖云波
【回归教材】
1．复数的有关概念
(1)定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a叫做复数 z的实部，b叫做复数 z的虚部(i 为虚数单位)．
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c
且
b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi的模，记作| a ＋ b i| 或| z | ，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数 z＝a＋bi与复平面内的点 Z ( a ， b ) 及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2
－OZ1.
4.【常用结论】
（1） ；=；=
i
.
（2） ．
（3） ．
（4） ．
（5）模的运算性质：① ；② ；③ .
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b ＝ 0
a＋bi为虚数⇔b ≠0
a＋bi为纯虚数⇔a ＝ 0
且
b ≠0
【典例讲练】
题型一 复数的概念
【例 1-1】若复数 ，当实数 m为何值时
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）z对应的点在第二象限
【答案】(1) 或 ：
(2) ；
(3) .
【解析】(1) 是实数，根据虚部为 ，列方程即可求解；
(2) 是纯虚数，根据实部为 ，虚部不为 ，列方程组即可求解；
(3) 对应的点在第二象限，根据实部小于 ，虚部大于 ，列不等式组即可求解.
【详解】解：由题意：
(1) 或 ，
当 或 时， 是实数.
(2) ，
当 时， 是纯虚数.
(3)
当 时， 对应的点在第二象限.
【点睛】本题考查复数概念的运用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
归纳总结：
【练习 1-1】（多选）下列说法错误的是（ ）
A．复数 不是纯虚数
B．若 ，则复数 是纯虚数
C．若 是纯虚数，则实数
D．若复数 ，则当且仅当 时，z为虚数
【答案】ACD
【分析】根据复数 当且仅当 时为实数、 时为虚数，
当且仅当 且 时为纯虚数判断即可.
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