《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第04课时 圆和圆的位置关系及圆的综合问题（解析版）

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第 4 课时 圆与圆的位置关系及圆的综合应用
编写：廖云波
【回归教材】
1.圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系 几何法：圆心距 d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成
方程组的解的情况
外离 d > r 1＋ r 2无解
外切 d ＝ r 1＋ r 2一组实数解
相交 | r 1－ r 2|< d < r 1＋ r 2两组不同的实数解
内切 d ＝ | r 1－ r 2|( r 1≠ r 2)一组实数解
内含 0 ≤ d <| r 1－ r 2|( r 1≠ r 2)无解
2.相交两圆的公共弦所在直线方程
已知 ， ①
和圆 ， ②
用方程①-②，得 ． ③
③表示过圆 和圆 的交点的直线，即圆 和圆 公共弦所在的直线方程．
3. 圆系方程
①过两圆 和 的交点的圆系方程为
(，其中不含圆 )．
②当 时， 为两圆的公共弦所在直线的方程；
当两圆相切时， 为过两圆切点的直线方程
【典例讲练】
题型一 圆与圆的位置关系
【例 1-1】已知 ，且圆 ，圆 ．分别求这
两圆外离、外切、相交、内切、内含时，实数 a的取值范围．
【答案】 时外离； 时外切； 时相交， 时内切， 时内含．
【解析】
【分析】
由两圆的连心距与半径的和差关系求解．
【详解】
， ，半径为 ，
， ， ，
，
，
所以， 时外离； 时外切； 时相交， 时内切， 时内含．
【例 1-2】已知圆 ： 与 ： 相交于 A、B两点．
(1)求公共弦 AB 所在的直线方程；
(2)求圆心在直线 y＝－x上，且经过 A、B两点的圆的方程；
(3)求经过 A、B两点且面积最小的圆的方程．
【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；
（2）首先设圆系方程 （ 为常数），根据圆心在直线
上，求 ，即可求得圆的方程；
（3）面积最小的圆，就是以线段 AB 为直径的圆，即可求得圆心和半径.
(1)
将两圆方程相减得 x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
(2)
设经过 A、B两点的圆的方程为 （ 为常数），
则圆心坐标为 ；又圆心在直线 y＝－x上，故 ，
解得 ，故所求方程为 ．
(3)
由题意可知以线段 AB 为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为 2x＋y＋3＝0，
与直线 AB 方程联立得所求圆心坐标为 ，由弦长公式可知所求圆的半径为 ．
故面积最小的圆的方程为 ．
归纳总结：
【练习 1-1】已知圆 ，圆 ，则同时与圆 和圆 相切的
直线有（ ）
A．4条B．2条C．1条D．0条
【答案】B
【解析】
【分析】
利用已知条件判断圆 与圆 的关系，进而可以求解.
【详解】
由 ，得圆 ，半径为 ，
由 ，得 ，半径为
所以 ，
， ，
所以 ，所以圆 与圆 相交，
所以圆 与圆 有两条公共的切线.
故选：B.
【练习 1-2】已知圆 与圆 ．
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