《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第04课时 排列与组合（解析版）

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第 4 课时 排列与组合
编写：廖云波
【回归教材】
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合 合成一组
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取
出m个元素的排列数，用 A
表示．
(2)组合数的定义：从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n个不同元素中
取出 m个元素的组合数，用 C
表示．
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) ＝
(2)C＝＝＝
性质 (3)0！＝1；A＝n！
(4)C＝C；C＝C ＋ C
【典例讲练】
题型一 排列应用题
【例 1-1】（1）若 ，则 ________；
（2）不等式 的解集为________．
【答案】SSSS 3
【分析】（1）利用排列数的计算公式化简计算，再结合 的取值范围即可得出答案.
（2）利用排列数的计算公式化简计算，再结合 的取值范围即可得出答案.
【详解】（1）原方程可化为 ，
化简得 ，解得 或 或 或 ．
由 ，得 ，且 ，所以 ．
（2）原不等式可化为 ，其中 ， ，
整理得 ，即 ，所以 或 ．
因为 ， ，所以 ， ，所以原不等式的解集为 ．
故答案为：3，.
【例 1-2】有7名同学，其中 3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排 2名同学，中间排 3名同学，后排 2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7 名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7 名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520
(2)144
(3)3600
(4)3720
(5)840
(6)720
(7)960
(8)240
【分析】（1）根据排列即可求解，
（2）根据不相邻问题运用插空法即可求解，
（3）根据特殊元素或者特殊位置优先安排即可求解,
（4）根据分类加法计数原理即可分两类情况分别求解：一类甲在最后最右端，另一类甲在出来左右两端之
外的中间 5个位置中选一个，
（5）根据定序问题利用除法即可求解，
（6）先安排好甲，剩余人员全排列即可，
（7）甲乙相邻问题，然后甲乙整体与丙属于不相邻问题，分别利用捆绑法和插空法即可分步求解，
（8）根据圆桌问题，利用定序问题的除法公式即可求解.
（1）从 7人中选 5人排列，排法有 （种）．
（2）先排男生，有 种排法，再在男生之间及两端的 4个空位中排女生，有 种排法．故排法共有
（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有 5种排法，其余 6人有 种排法，故排法共有
（种）．方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余 6人中的 2人，有 种排法，其他位
置有 种排法，故排法共有 （种）．
（4）方法一SSS分两类：第一类，甲在最右边，有 种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端
后剩下的 5个位置中任选一个，有 5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的 5个位置中任
选一个，有 5种排法，其余人全排列，有 种排法．故排法共有 （种）．方法二 7 名
学生全排列，有 种排法，其中甲在最左边时，有 种排法，乙在最右边时，有 种排法，甲在最左边、
乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 种排法，故排法共有
（种）．
（5）7名学生站成一排，有 种排法，其中 3名男生的排法有 种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，
故排法共有 （种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余 6人的全排列，故排法共有 （种）．
（7）先把除甲、乙、丙 3人外的 4人排好，有 种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有 种
排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的 4人之间及两端的 5个空隙中，有 种排法．
故排法共有 （种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于 6名同学坐圆桌吃饭，有 种排法，甲、乙两人可交换位置，故排
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