《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第3课时 三角恒等变换（解析版）

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第 3 课时 三角恒等变换
编写：廖云波
【回归教材】
1.两角和与差的正余弦与正切
①
； ② ； ③
2.二倍角公式
① ； ② ； ③ ；
3.辅助角公式
asin α+bcos α=
√
a2+b2sin(α+ϕ)
（其中
sin ϕ=b
√
a2+b2，cos ϕ=a
√
a2+b2，tan ϕ=b
a
）．
3.公式变形
（1）两角和与差正切公式变形
tan α±tan β=tan (α±β)(1∓tan αtan β)
；
tan α⋅tan β=1−tan α+tan β
tan (α+β)=tan α−tan β
tan (α−β)−1
．
（2）降幂公式与升幂公式
sin2α=1−cos 2 α
2；cos2α=1+cos 2 α
2；sin αcos α=1
2
sin 2 α
；
1+cos 2 α=2 cos2α；1−cos 2 α=2 sin2α；1+sin 2 α=(sin α+cos α)2；1−sin 2 α=(sin α−cos α)2
．
（3）其他常用变式
sin 2 α=2 sin αcos α
sin2α+cos2α=2 tan α
1+tan2α
；cos 2 α=cos2α−sin2α
sin2α+cos2α=1−tan2α
1+tan2α
；tan α
2=sin α
1+cos α=1−cos α
sin α
．
（4）拆分角问题
① ； ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．
（5）半角公式
【典例讲练】
题型一 基本公式的应用
【例 1-1】求下列各式的值．
（1） ；（2） ；（3） ；
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
【解析】
(1) =,然后利用正弦的和角公式求解.
(2) 然后利用正弦的和角公式求解.
(3) 然后利用正切的差角公式求解.
【详解】
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
【点睛】
本题考查利用两角和的正弦三角函数公式与两角和差的正切的三角函数公式求解特殊角的三角函数,属于基础
题.
【例 1-2】求下列各式的值：
(1) ；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
由条件利用两角和差的三角公式、诱导公式，即可求出各题．
(1)
解： ；
(2)
解： ；
(3)
解： ；
归纳总结：
【练习 1-1】利用二倍角公式求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式直接求得；
（2）利用二倍角的余弦公式直接求得；
（3）利用二倍角的余弦公式直接求得；
（4）利用二倍角的正切公式直接求得.
(1)
.
(2)
.
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