《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第3课时 平面向量的数量积（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 11 4 1.34MB 25 页 3知币
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第 3 课时 平面向量的数量积
编写：廖云波
【回归教材】
1.向量的夹角
已知两个非零向量 a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 就是向量 a与b的夹角，向量夹角的范围是：
[0，π]．
2.平面向量的数量积
(1)设两个非零向量 a，b的夹角为 θ，则数量|a||b|·cosθ叫做 a与b的数量积，记作 a·b
(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。
3.投影向量
（1）向量 a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中 e为与 b同向的单位向量)，它是一个向量，且与 b共线，
其方向由向量 a和b夹角 θ的余弦决定．
（2）向量 a在b方向上的投影向量·.
注意：a在b方向上的投影向量与 b在a方向上的投影向量不同，
即向量 b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ.
4.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当 a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cosθ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
5.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6.平面向量数量积满足的运算律
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则 cosθ＝＝.
【典例讲练】
题型一 平面向量的数量积的运算
【例 1-1】已知向量 与 的夹角为 ， ， ，分别求在下列条件下的 ：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据 ，代入数值，即可求出结果；
（2）因为 ，所以 或 ，再根据 即可求出结果；
（3）因为 ，所以 ，再根据 即可求出结果.
(1)
解：因为 ， ， ，所以 ；
(2)
解：因为 ，所以 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 的值为 或 .
(3)
解：因为 ，所以 ，
所以 .
【例 1-2】已知平面向量 ， 的夹角为 120°，且 .若 ，则 ______.
【答案】11
【解析】
【分析】
根据数量积公式，可得 的值，由题意得 ，展开计算，即可得答案.
【详解】
因为平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：11.
【例 1-3】如图，正六边形 ABCDEF 中， ，点 P是正六边形 ABCDEF 的中心，则 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】
找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可.
【详解】
在正六边形中，点 P是正六边形 ABCDEF 的中心，
，且 ,
.
故答案为：2.
【例 1-4】如图，平行四边形 中， ， ， ，点 在 边上，且 ，则
___________.
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