《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第3课时 函数的奇偶性和周期（原卷版）

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第 3 课时 函数的奇偶性和周期
编写：廖云波
【回归教材】
1.函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
，那么函数 是偶函数
图象关于 轴对称
奇函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
，那么函数 是奇函数
图象关于原点对称
2.函数奇偶性性质
①对数型复合函数判断奇偶性常用 或 来判断奇偶性.
② ， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若 是定义在区间 上奇函数，且 ，则 （注意：反之不成立）
3.函数对称性（异号对称）
（1） 轴 对 称 ： 若 函 数 关 于 直 线 对 称 ， 则 ： ① ； ②
；
（2） 点 对 称 ： 若 函 数 关 于 点 对 称 ， 则 ： ① ②
（3）点对称：若函数 关于直线 对称，则：
4.函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期，则 （ ）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小正周
期（若不特别说明， 一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期 ；
②若 ，则函数的周期 ；
③若 ，则函数的周期 ；
④若 ，则函数的周期 ；
⑤ ，则函数的周期
【典例讲练】
题型一 判断函数的奇偶性
【例 1-1】判断下列函数的奇偶性：
(1) (2) (3) (4)
【例 1-2】判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2） ； （3）.
归纳总结：
【练习 1-1】判断下列函数的奇偶性并证明：
(1) ； (2) ．
题型二 函数奇偶性的应用
【例 2-1】已知函数 是定义在 R上的偶函数，当 时， ，试求出函数 在 R上
的表达式．
【例 2-2】定义在区间 上的偶函数 ，最大值为 ，则 __________.
【例 2-3】（1）设定义在 上的奇函数 在 上是减函数，若 ，求实数 m的取值范
围；
（2）定义在 上的偶函数 ，当 时， 为减函数，若 成立，求 m的取值范围.
归纳总结：
【练习 2-1】已知 ， 分别是 上的奇函数和偶函数，且 ，试求 和
的表达式．
【练习 2-2】已知定义在 上的函数 .
(1)求证： 是奇函数；
(2)求证： 在 上单调递增；
(3)求不等式 的解集.
题型三 函数的对称性
【例 3-1】已知函数 ，若 ，则 ___________.
【例 3-2】已知函数 ，定义域为 的函数 满足 ，若函数
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