《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第3课时 函数的奇偶性和周期（解析版）

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第 3 课时 函数的奇偶性和周期
编写：廖云波
【回归教材】
1.函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
，那么函数 是偶函数
图象关于 轴对称
奇函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
，那么函数 是奇函数
图象关于原点对称
2.函数奇偶性性质
①对数型复合函数判断奇偶性常用 或 来判断奇偶性.
② ， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若 是定义在区间 上奇函数，且 ，则 （注意：反之不成立）
3.函数对称性（异号对称）
（1） 轴 对 称 ： 若 函 数 关 于 直 线 对 称 ， 则 ： ① ； ②
；
（2）点对称：若函数 关于点 对称，则： ① ②
（3）点对称：若函数 关于直线 对称，则：
4.函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期，则 （ ）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小正
周期（若不特别说明， 一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期 ；
②若 ，则函数的周期 ；
③若 ，则函数的周期 ；
④若 ，则函数的周期 ；
⑤ ，则函数的周期
【典例讲练】
题型一 判断函数的奇偶性
【例 1-1】判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)偶函数
(2)既是奇函数又是偶函数
(3)奇函数
(4)奇函数
【解析】
【分析】
分别求函数函数的定义域，再定义判断 与 的关系即可得出结论.
(1)
解：函数的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为偶函数；
(2)
解：由函数 ，
则 ，解得 ，奇函数的定义域为 关于原点对称，
故 ，所以函数 既是奇函数又是偶函数；
(3)
解：当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上，对于任意的 ，都有 ，
所以函数 为奇函数；
(4)
解：函数 的定义域为 ，
，
所以函数 为奇函数.
【例 1-2】判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
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