《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第3课时 等比数列（原卷版）

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第 3 课时 等比数列
编写：廖云波
【回归教材】
1.等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第 2
项起，每一项与它的前一项的比等于 (不为零)，那么这个数列就叫做
等比数列．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常
数)．
(2)等比中项：如果 a，G，b成等比数列，那么 G
叫做 a与b的等比中项．即 G是a与b的等比中项
⇒a，G，b成等比数列⇒ .
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .
(2)前n项和公式： .
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am· (n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ ＝ .
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}， ，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数
列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，
公比为 qk.
4.等比数列与指数函数的关系
等比数列 的通项公式 还可以改写为 ，当 且 时， 是指数函数，
是指数型函数，因此数列 的图象是函数 的图象上一些孤立的点．
当 或 时， 是递增数列； 当 或 时， 是递减数列；
当 时， 为常数列 ；
当 时， 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
【典例讲练】
题型一 等比数列的基本量
【例 1-1】在等比数列 中，
(1)已知 ， ，求 ；
(2)已知 ， ，求 和 q；
(3)已知 ， ，求 ；
(4)已知 ， ，求 ．
【例 1-2】已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （ ）
A．B．9 C．D．27
归纳总结：
【练习 1-1】设 是公比为 的等比数列，且 .则 （ ）
A．B．C．8 D．11
【练习 1-2】等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ___________.
题型二 等比数列的性质
【例 2-1】已知 是等比数列，若 ，且 ，则 （ ）
A．10 B．25 C．5 D．15
【例 2-2】等比数列 的前 n项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习 2-1】【多选题】在正项等比数列{an}中，已知 ， ，则（ ）
A．B．C．D．n＝12
【练习 2-2】已知等比数列 ， ， 是方程 的两根，则 （ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
题型三 等比数列的最值问题
【例 3-1】设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，
，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列 存在最大值 D． 是数列 中的最大值
归纳总结：
【练习 3-1】【多选题】等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件 ， ，
．给出下列结论其中正确的结论是（ ）
A．B．C． 的值是 中最大的 D．T99 的值是 Tn中最大的
题型四 等比数列的判定
【例 4-1】在数列 中，已知各项都为正数的数列 满足 .
(1)证明数列 为等比数列； (2)若 ， ，求 的通项公式.
【例 4-2】已知数列 满足 ，且 ．
(1)若 ，证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前 项和 ．
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