《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第3课时 等比数列（解析版）

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第 3 课时 等比数列
编写：廖云波
【回归教材】
1.等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第 2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做
等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常
数)．
(2)等比中项：如果 a，G，b成等比数列，那么 G
叫做 a与b的等比中项．即 G是a与b的等比中项
⇒a，G，b成等比数列⇒G 2
＝ ab .
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1q n
－
1
.
(2)前n项和公式： .
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·q n
－
m
(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap· a q＝a.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}， ，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数
列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，
公比为 qk.
4.等比数列与指数函数的关系
等比数列 的通项公式 还可以改写为 ，当 且 时， 是指数函数，
是指数型函数，因此数列 的图象是函数 的图象上一些孤立的点．
当 或 时， 是递增数列； 当 或 时， 是递减数列；
当 时， 为常数列 ；
当 时， 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
【典例讲练】
题型一 等比数列的基本量
【例 1-1】在等比数列 中，
(1)已知 ， ，求 ；
(2)已知 ， ，求 和 q；
(3)已知 ， ，求 ；
(4)已知 ， ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) ， ，或，；
(3)9；
(4)±4.
【分析】(1) ；
(2)根据等比数列通项公式进行计算即可；
(3) ；
(4)设等比数列公比为 q，根据已知条件和等比数列通项公式列出方程组即可求解.
(1)
等比数列 中， ， ，
；
(2)
等比数列 中， ， ，
，
；
当 时， ，
当 时， ，
， 或 ， ；
(3)
等比数列 中， ， ，
，
；
(4)
等比数列 中，设公比为 q，
∵ ， ，
∴，
两式相除并化简得， ，
解得 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
综上， 或 ．
【例 1-2】已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （ ）
A．B．9 C．D．27
【答案】D
【分析】利用等比数列前 项和公式，结合 ， 求出该等比数列的公比，最后利用等比数列的通
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