《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第3课时 导数的应用（二）极值与最值（原卷版）

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第 3 课时 导数的应用（二）极值与最值
编写：廖云波
【回归教材】
1.函数的极值
一般地，对于函数 y=f (x)，
（1）若在点 x=a处有 f ′(a)=0，且在点 x=a附近的左侧 ，
右侧 ，则称 x=a 为f (x)的 ， 叫做函数 f (x)的 .
（2）若在点 x=b处有 =0，且在点 x=b 附近的左侧 ，
右侧 ，则称 x=b 为f (x)的 ， 叫做函数 f (x)的 ．
（3）极小值点与极大值点通称 ，极小值与极大值通称 .
2.函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，
对于最值，我们有如下结论：
一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的 ；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，
其中最大的一个是 ，最小的一个是 .
3.函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，
极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
【典例讲练】
题型一 求函数的极值
【例 1-1】已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A．当 时， 取得极小值 1 B．当 时， 取得极大值 1
C．当 时， 取得极大值 33 D．当 时， 取得极大值
【例 1-2】已知函数 ，求函数 的极大值与极小值．
归纳总结：
【练习 1-1】函数 的极值点是_________.
【练习 1-2】已知函数 .求 的单调区间和极值.
题型二 利用极值求参数
【例 2-1】已知函数 ．若函数 在 处取得极小值－4，求实数 a，b的值；
【例 2-2】已知函数 既有极大值，又有极小值，则 的取值范围是（）
A． 或 B． 或 C． D．
【例 2-3】若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围是______．
归纳总结：
【练习 2-1】已知函数 的极小值为 ，则 a的值为______．
【练习 2-2】若函数 有 2个极值点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【练习 2-3】已知函数 .若函数 在 上恰有一个极值，求 a的值．
题型三 求函数的最值
【例 3-1】【多选题】已知函数 的导函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（）
A． 时， 取得极大值 B． 时， 取得最小值
C．D．
【例 3-2】设函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求函数 在区间 上的最小值.
【例 3-3】已知函数 ．当 时．求函数 f（x）的最大值．
归纳总结：
【练习 3-1】【多选题】函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的有（）
A． 为函数 的一个零点
B． 为函数 的一个极大值点
C．函数 在区间 上单调递增
D． 是函数 的最大值
【练习 3-2】已知函数 ，当 时， 有极小值 .
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