《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第3课时 导数的应用（二）极值与最值（解析版）

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第 3 课时 导数的应用（二）极值与最值
编写：廖云波
【回归教材】
1.函数的极值
一般地，对于函数 y=f (x)，
（1）若在点 x=a处有 f ′(a)=0，且在点 x=a附近的左侧 ，
右侧 ，则称 x=a 为f (x)的极小值点， 叫做函数 f (x)的极小值.
（2）若在点 x=b处有 =0，且在点 x=b 附近的左侧 ，
右侧 ，则称 x=b 为f (x)的极大值点， 叫做函数 f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2.函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，
对于最值，我们有如下结论：
一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，
极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
【典例讲练】
题型一 求函数的极值
【例 1-1】已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A．当 时， 取得极小值 1 B．当 时， 取得极大值 1
C．当 时， 取得极大值 33 D．当 时， 取得极大值
【答案】B
【解析】
【分析】
求导可得 解析式，令 ，可得极值点，利用表格法，可得 的单调区间，代入数据，可得
的极值，分析即可得答案.
【详解】
由题意得 ，
令 ，解得 或 ，
当x变化时， 、 变化如下
x-1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以当 时， 取得极大值 1，故 B正确、C、D错误，
当 时， 取得极小值，故 A错误，
故选：B
【例 1-2】已知函数 ，求函数 的极大值与极小值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
先求 的值，发现需要讨论 的正负，分别判定在 的点附近的导数的符号的变化情况，来确
定极大值点与极小值点，求出极值．
【详解】
解： ，
令 ，则 或 ，
当 ，随着 x的变化， 与 的变化情况如下：
x0
0 0
极大值 极小值
所以 ， ；
当 时，随 的变化， 与 的变化如下表：
x0
0 0
极小值 极大值
所以 ， ，
综上所述， ， .
归纳总结：
【练习 1-1】函数 的极值点是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
极值点是导函数的“变号零点”，先求导函数的零点，在检查导函数零点附近的符号.
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