《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第2课时 函数的单调性和最值（解析版）

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第 2 课时 函数的单调性和最值
编写：廖云波
【回归教材】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上的
任意两个自变量的值 x1，x2
当x1<x2时，都有 f ( x 1)< f ( x 2)，那么就
说函数 f(x)在区间 D上是增函数
当x1<x2时，都有 f ( x 1)> f ( x 2)，那么
就说函数 f(x)在区间 D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间
D
叫做 y＝f(x)的单调区间．
2.导数单调性问题
(1)函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果
，则 为减函数．
(2)已知函数的单调性问题
单调递增； 单调递增 ；
单调递减； 单调递减 .
3.函数的最值
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
条件
(1)对于任意的 x∈I，都有
f ( x ) ≤ M ；
(2)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M
(3)对于任意的 x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ；
(4)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M
结论 M为最大值 M为最小值
4.函数相加或相减后单调性：
设 ，两个函数 ， 在区间 上的单调性如下表，则 在 上的单调
性遵循（增+增=增；减+减=减；增-减=增+增=增；减-增=减+减=减）
【典例讲练】
题型一 求函数的单调区间
【例 1-1】函数 的单调递增区间是______．
【答案】
【解析】
【分析】
画出函数的图象求解.
【详解】
函数的图象如图所示：
由图象知：其单调递增区间是 ，
故答案为：
【例 1-2】函数 的单调增区间是___________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性法则，指数函数，二次函数的性质即可求出．
【详解】
设 ，函数 的单调减区间是 ，增区间是 ，而函数 在
上递减，根据复合函数的单调性法则可知，函数 的单调增区间是 ．
故答案为： ．
【例 1-3】若函数 f（x）＝6lnx－x2＋x，则 f（x）的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导，解不等式 可得.
【详解】
f（x）定义域为 ，又 ，
令 ，∵x＞0，∴ ，
由 解得 或 ，
则 ，即 的单调减区间为 ．
故选：B．
归纳总结：
【练习 1-1】函数 的单调递增区间是（　 ）
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