《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第2课时 等差数列（解析版）

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第 2 课时 等差数列
编写：廖云波
【回归教材】
1.等差数列的概念
（1）一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d表示．即 ， 为常数．
（2）如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 an＝ a 1＋ ( n － 1) d .
（3）由三个数 a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做 a与b的等差中项．
（4）设等差数列{an}的公差为 d，其前 n项和 或 Sn＝n2＋n.
2.等差数列的常用性质
（1）若 ，则
am+an=ap+aq
．
特别地，①若 ，则 ；
②若 ，则 ．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（2）下标成等差数列的项 组成以 md 为公差的等差数列．
3.差数列各项的和有关的性质
设等差数列 （公差为 d）和 的前 n项和分别为 ，
（1）数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ．
（2） 构成公差为 的等差数列．
（3）若数列 共有 项，则 ， ．
（4） ， ．
4.等差数列的前 n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn存在最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn存在最小值．
【典例讲练】
题型一 等差数列的基本量
【例 1-1】等差数列 的首项为 ，公差为 d，项数为 ．
(1)已知 ， ， ，求 ；
(2)已知 ， ， ，求 ；
(3)已知 ， ， ，求 d；
(4)已知 ， ， ，求 ．
【答案】(1)13
(2)8
(3)
(4)
【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.
(1)
解：因为数列 为等差数列， ， ， ，
所以 ，所以 ；
(2)
解：因为数列 为等差数列， ， ， ，
所以 ，解得 ；
(3)
解：因为数列 为等差数列， ， ， ，
所以 ，解得 ；
(4)
解：因为数列 为等差数列， ， ， ，
所以 ，解得 .
【例 1-2】设 为等差数列 的前 n项和，已知 ， ，则 （）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】结合已知及等差数列的通项公式及求和公式，可求解公差 ，从而求得通项公式，代入 则可
得出答案.
【详解】由已知可得， ，解可得 ，
故选：C.
归纳总结：
【练习 1-1】(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前 n项和，已知 a7＝5，S7＝21，则（）
A．a1＝1 B．d＝－
C．a2＋a12＝10 D．S10＝40
【答案】ACD
【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.
【详解】设数列{an}的公差为 d，
则由已知得 S7＝ ，
即21＝ ，解得 a1＝1.
又a7＝a1＋6d，所以 d＝.
所以 S10＝10a1＋d＝10＋ ＝40.
由{an}为等差数列，知 a2＋a12＝2a7＝10.
故选：ACD
【练习 1-2】已知等差数列 的前 n项和为 ，若 ，则 （）
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