《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第02课时 成对数据的统计分析（解析版）

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第 2 课时 成对数据的统计分析
编写：廖云波
【回归教材】
1.变量间的相关关系
(1)相关关系的定义
相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的_ 随机性 __ ，那么这两个变量之间的关系叫做相关关
系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．
(2)散点图
将样本中 n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．
(3)正相关与负相关
①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．
②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．
2.相关系数
（1）样本相关系数 r的计算公式
我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为
.
（2）样本相关系数 r的性质
① ；
②当 r>0 时，表明两个变量正相关；当 r<0 时，表明两个变量负相关；
③|r|越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强；
④|r|越接近于 0，表明两个变量的线性相关性越弱.
3.回归方程
(1)最小二乘法
求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)经验回归方程
若变量 x与y具有线性相关关系，有 n个样本数据 ，.则经验回归方程 中
， . 称为样本点的中心.
其中 ，
4.刻画回归效果的方式
方式方法 计算公式 刻画效果
越接近于 1，表示回归的效果越好
残差图
称为相应于点 的
残差，
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明
选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽
度越窄，说明模型拟合精确度越高.
残差平方和 残差平方和越小，模型的拟合效果越好
5.独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量 X和Y，它们的可能取值分别
为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2列联表)为
2×2列联表
构造一个随机变量 K2＝，其中 n＝a ＋ b ＋ c ＋ d
为样本容量．
(3)独立性检验
利用随机变量 K 2
来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
(4)独立性检验的具体做法
①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 α，然后查表确定临界值
k0.
②利用公式计算随机变量 K2的观测值
k.
③如果 k ≥ k 0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过 α，
否则就认为在犯错误的概率不超过 α的前提下不能推断“X与Y有关系”，
或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.
【典例讲练】
题型一 变量的相关关系
【例 1-1】对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
y1y2总计
x1a b a＋b
x2c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正负相关与线性相关的强弱进行求解即可
【详解】 都是正线性相关，
所以 ，
并且相关性 最强，
所以 ；
都是负线性相关并，
所以 ，
且相关性强，
所以 ，
所以 ；
所以 ；
故选：A
【例 1-2】如图，在一组样本数据 ， ， ， ， 的散点图中，若去掉
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