《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第1课时 集合（解析版）

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第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
第1课时 集合
编写：廖云波
【回归教材】
1.元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为： 和 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ 图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
2.集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，
我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作 （或 ），读作“ 包
含于 ”（或“ 包含 ”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合
B
的真子集，记作 （或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），此时，集合
与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作
∅
；
∅
是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集.
3.集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作
，即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作
，即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集
的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ．
4.集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．
【常用结论】
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真
子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4）,．
【典例讲练】
题型一 集合的基本概念
【例 1-1】设集合 ，若 ，则 的值为（ ）．
A． ，2 B．C． ， ，2 D． ，2
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合中元素确定性得到： ， 或 ，通过检验，排除掉 .
【详解】
由集合中元素的确定性知 或 ．
当 时， 或 ；当 时， ．
当 时， 不满足集合中元素的互异性，故 舍去；
当 时， 满足集合中元素的互异性，故 满足要求；
当 时， 满足集合中元素的互异性，故 满足要求．
综上， 或 ．
故选：D．
【例 1-2】（多选题）设集合 ，则下列是集合 中的元素的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
分别对 ， 取整数， ， 可判断 A；由 ， 可判断 B；令
，通过验证不成立可判断 C；由 ， 可判断 D，进而可得正确选项.
【详解】
对于 A：因为 ， ， ， ，所以 ，故选项 A正确；
对于 B：因为 ， ， ， ，所以 ，故选项 B正确；
对于 C：若 ，则存在 ， 使得 ，
则 ，易知 和 同奇或同偶，
若 和 都是奇数，则 为奇数，而 是偶数，矛盾；
若 和 都是偶数，则 能被 整除，而 不能被 整除，矛盾，所以 ，
故选项 C不正确；
对于 D： ， ， ，所以 ，故选项 D正确；
故选：ABD.
【例 1-3】集合 ，用列举法可以表示为 _________．
【答案】 、
【解析】
【分析】
根据集合元素属性特征进行求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，可得 ，因为 ，所以 ，集合 ．
故答案为：
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