《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第01课时 随机抽样、用样本估计总体（原卷版）

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第九章 统计、排列组合与概率
第 1 课时 随机抽样、用样本估计总体
编写：廖云波
【回归教材】
1.简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有 N个个体，从中 抽取 n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取
时总体内的各个个体被抽到的机会都 ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种—— 和 ．
(3)应用范围：总体个体数较少．
2.分层抽样
(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成 的层，然后按照 ，从各层独立地抽取一定数
量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由 组成时，往往选用分层抽样的方法．
(3)分层随机抽样的方差
设样本容量为 n，平均数为 ，其中两层的个体数量分别为 ，两层的平均数分别为 ，方差分
别为 ， ，则这个样本的方差为 ．
3.作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中 与 的差)．
(2)决定 与 ． (3)将数据 ． (4)列 ． (5)画 ．
4.百分位数
(1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一
百分位的 ．
一般地，一组数据的 是这样一个值，
它使得这组数据中至少有 p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个
值．
(2)计算第 p百分位数的步骤．
第1步：以 顺序排列原始数据(即从小到大排列)．
第2步：计算 i＝np%.
第3步：①若 i 不是整数，将 i 向上取整．大于 i的比邻整数即为第 p百分位数的位置；
②若 i是整数，则第 p百分位数是第 i项与第(i＋1)项数据的平均值．
5.总体集中趋势与离散程度的估计
(1)众数：一组数据中重复出现 的数．
(2)中位数：把一组数据按 的顺序排列，处在 位置(或中间两个数的 )的数叫做这
组数据的中位数．
(3)平均数：如果 n个数 x1，x2，…，xn，那么 ＝ 叫做这 n个数的平均数．
(4)一组数据 x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均数，
则这组数据的方差为 ＝ （ － ），标准差为 .
(5)频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
①在频率分布直方图中，众数是 矩形中点的 ；
②中位数左边和右边的直方图的 应该相等；
③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个 乘以小矩形底边中点的 之和．
【典例讲练】
题型一 抽样方法
【例 1-1】下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（ ）
A．从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本
B．盒子里共有 80 个零件，采用抽签法从中选出 5个零件作为样本
C．从 20 件玩具中一次性抽取 4件形成样本
D．从 10 个球（2个红球､8个白球）中依次取出 2个红球
【例 1-2】我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，
凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有300
人，南面有200 人，这三面要征调 60 人，而北面共征调 10 人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）
人．”
A．200 B．100 C．400 D．300
【例 1-3】嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故
事”演讲比赛.若将报名的 30 位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，
选取方法是从随机数表第 1行的第 3列和第 4列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出
来的第 5个个体的编号为（ ）
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20 01 12 51 29
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．23 B．20 C．15 D．12
【例 1-4】从一群游戏的小孩中随机抽出 k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从
中任取m人，发现其中有 n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习1-1】北京2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是中
国文化与奥林匹克精神的一次完美结合．现工厂决定从 20 只相同的“冰墩墩”，15 只相同的“雪容融”和
10 个相同的北京2022 年冬奥会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为 n的样本进行质量检测，
若“冰墩墩”抽取了4只，则 n＝______．
【练习1-2】为了估计湖里有多少条鱼，先捕捉 80 条做上标记，然后放回到湖里，等标记的鱼完全混于鱼群
后，在捕捉 160 条鱼，发现带有标记的鱼有16 条，湖里大约有鱼________条
【练习1-3】一单位有职工 160 人，其中业务人员96 人，管理人员40 人，后勤服务人员24 人，为了了解职
工的收入情况，从中抽取一个容量为 20 的样本．按下述方法抽取：
①将 160 人从 1至160 编上号，再用白纸做成 1~160 号的签 160 个放入箱内拌匀，然后从中抽 20 个签与签号
相同的20 个人被选出．
②按 的比例，从业务人员中抽取 12 人，从管理人员中抽取 5人，从后勤人员中抽取 3人．
(1)上述两种方法中，总体、个体、样本分别是什么？
(2)上述两种方法中各自采取何种抽取样本的方法？
(3)你认为哪种抽样方法较为合理？并说明理由．
题型二 总体取值规律、百分位数的估计
【例 2-1】【多选题】某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了 10 个用户，得到用户对产品的满意
度评分如下表所示，评分用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近 10 表示满意度越高，则下列说法正
确的是（ ）
78975410947
A．这组数据的平均数为 6 B．这组数据的众数为 7
C．这组数据的极差为 6 D．这组数据的 75%分位数为 9
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