《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第01课时 随机抽样、用样本估计总体（解析版）

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第九章 统计、排列组合与概率
第 1 课时 随机抽样、用样本估计总体
编写：廖云波
【回归教材】
1.简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有 N个个体，从中逐个不放回地抽取 n个个体作为样本(n≤N)，如果每次
抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
(3)应用范围：总体个体数较少．
2.分层抽样
(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定
数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
(3)分层随机抽样的方差
设样本容量为 n，平均数为 ，其中两层的个体数量分别为 ，两层的平均数分别为 ，方差分
别为 ， ，则这个样本的方差为 ．
3.作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．
(2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图．
4.百分位数
(1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一
百分位的百分位数．
一般地，一组数据的第
p
百分位数 是这样一个值，
它使得这组数据中至少有 p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个
值．
(2)计算第 p百分位数的步骤．
第1步：以递增顺序排列原始数据(即从小到大排列)．
第2步：计算 i＝np%.
第3步：①若 i 不是整数，将 i 向上取整．大于 i的比邻整数即为第 p百分位数的位置；
②若 i是整数，则第 p百分位数是第 i项与第(i＋1)项数据的平均值．
5.总体集中趋势与离散程度的估计
(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．
(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据
的中位数．
(3)平均数：如果 n个数 x1，x2，…，xn，那么 ＝( x 1＋ x 2＋…＋ x n)叫做这 n个数的平均数．
(4)一组数据 x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均数，
则这组数据的方差为 ＝ （ － ），标准差为 .
(5)频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；
②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
【典例讲练】
题型一 抽样方法
【例 1-1】下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（ ）
A．从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本
B．盒子里共有 80 个零件，采用抽签法从中选出 5个零件作为样本
C．从 20 件玩具中一次性抽取 4件形成样本
D．从 10 个球（2个红球､8个白球）中依次取出 2个红球
【答案】B
【分析】根据简单随机抽样的概念直接判断即可.
【详解】简单随机抽样的总体个数是有限的，故 A错误；
简单随机抽样是从总体中逐个抽取，故 C错误；
简单随机抽样每次抽取时必须保证每个个体被抽到的概率相等，D选项中只抽取红球，个体被抽到的概率不
相等，故 D错误；
根据简单随机抽样的概念可知B正确.
故选：B
【例 1-2】我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，
凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 300
人，南面有 200 人，这三面要征调 60 人，而北面共征调 10 人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）
人．”
A．200 B．100 C．400 D．300
【答案】B
【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可
【详解】设北面共有 人，则由题意可得
，解得 ，
所以北面共有 100 人，
故选：B
【例 1-3】嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故
事”演讲比赛.若将报名的30 位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，
选取方法是从随机数表第 1行的第 3列和第 4列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出
来的第 5个个体的编号为（ ）
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20 01 12 51 29
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．23 B．20 C．15 D．12
【答案】C
【分析】根据随机数表法的概念直接得解.
【详解】根据随机数表法可得选出的个体编号依次为：12，02，01，04，15，
第5个个体编号为15，
故选：C.
【例 1-4】从一群游戏的小孩中随机抽出 k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从
中任取m人，发现其中有 n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用样本估计总体，计算即可得.
【详解】设总人数为 ，则 ，
故选：C.
归纳总结：
【练习1-1】北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是中
国文化与奥林匹克精神的一次完美结合．现工厂决定从 20 只相同的“冰墩墩”，15 只相同的“雪容融”和
10 个相同的北京 2022 年冬奥会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为 n的样本进行质量检测，
若“冰墩墩”抽取了4只，则 n＝______．
【答案】9
【分析】根据成分层抽样的比例可得答案.
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