《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第 2 课时 平面向量的基本定理及坐标表示（原卷版）

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第 2 课时 平面向量基本定理及坐标表示
编写：廖云波
【回归教材】
1.平面向量的基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使 a= .其中，不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .
2.向量与坐标的关系
设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标 就是终点 A的坐标；
反过来，终点 A的 (x，y)就是向量OA的坐标．
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
设a=（x1，y1） b=（x2，y2）
则a+b= a-b= λa=
(2)向量的坐标求法
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
⃗
AB
= ，V |
⃗
AB
|=
❑
√
(x2-x1)2+¿ ¿
.
4.向量平行与垂直的条件
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔a=λb(λR)∈ ⇔ =0.
a⊥b⇔a·b=0⇔ =0
【典例讲练】
题型一 平面向量的基本定理及其应用
【例 1-1】下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【例 1-2】已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，用基底 表示 ，则（ ）
A．B．
C．D．
【例 1-3】半径为 1的扇形 的圆心角为 ，点 在弧 上， ，若 ，则
______.
归纳总结：
【练习 1-1】若 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【练习 1-2】如图，平面四边形 ABCD 中， ， ， ， ， ，
则 （ ）
A．B．C．D．2
【练习 1-3】已知点 ， ， 是函数 ， 图象上的动点，若 ，
则 的最大值为______.
题型二 平面向量坐标的基本运算
【例 2-1】在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ，（1，4），若点 满足 .则点
的坐标为_____．
【例 2-2】已知 ， ，点 P是线段 MN 的一个三等分点且靠近点 M，则点 P的坐标为______．
归纳总结：
【练习 2-1】已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B．C．D．3
【练习 2-2】已知两点 ，点 在直线 上，且满足 ，则点 的坐标为______
___.
题型三 平面向量平行与垂直的坐标表示
【例 3-1】已知向量 ， ，当 为何值时，
(1) 与 垂直？
(2) 与 平行？平行时它们是同向还是反向？
(3)若 ， ，且 A、B、C三点共线，求实数 的值．
归纳总结：
【练习 3-1】设x， ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A．B．1 C．2 D．0
【练习 3-2】已知向量 ， ， ，则 的值是（ ）
A．B．C．D．
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