《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第 2 课时 平面向量的基本定理及坐标表示（解析版）

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第 2 课时 平面向量基本定理及坐标表示
编写：廖云波
【回归教材】
1.平面向量的基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有一对实数
λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.向量与坐标的关系
设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标( x ， y ) 就是终点 A的坐标；
反过来，终点 A的坐标(x，y)就是向量OA的坐标．
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
设a=（x1，y1） b=（x2，y2）
则a+b=( x 1+x2， y 1+y2) a-b=( x 1-x2， y 1-y2) λa=( λx 1， λy 1)
(2)向量的坐标求法
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
⃗
AB
=( x 2-x1， y 2-y1)，W |
⃗
AB
|=
❑
√
(x2-x1)2+¿ ¿
.
4.向量平行与垂直的条件
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔a=λb(λR)∈ ⇔x1y2-x2y1=0.
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0
【典例讲练】
题型一 平面向量的基本定理及其应用
【例 1-1】下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基底的定义分别判断各个选项即可得出答案.
【详解】
解：对于 A，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；
对于 B，因为 ，所以 ，所以两向量不能作为一组基底；
对于 C，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；
对于 D，因为两向量不共线，所以能作为一组基底.
故选：B．
【例 1-2】已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，用基底 表示 ，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，用坐标表示出 、 和 ，并设 ，联立方程组求出 和 即可.
【详解】
如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为 1，
则 ， ， ，
设向量 ，
则 ，
所以 .
故选：A
【例 1-3】半径为 1的扇形 的圆心角为 ，点 在弧 上， ，若 ，则
______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，由 ， ，可得 ．由 ，可得 ，又 ，
，利用向量相等可得出 ， ，进而得解．
【详解】
建立直角坐标系，如图所示，
， ，
，即
，
，即
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