《挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）》第 1 课时 向量的概念及线性运算（解析版）

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第五章 平面向量与复数
第 1 课时 向量的概念及线性运算
编写：廖云波
【回归教材】
1.平面向量的相关概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；
向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量 或 ；
模 或
平面向量是自由向量
零向量 长度等于 0 的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的
单位向量 长度等于 1 个单位的向量 常用 表示 非零向量 的单位向量是
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与 共线可记
为
与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量
向量只有相等或不等，不能比
较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
2.向量运算
运算 定义 法则(或几何意义)运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则h 平行四边形法
则
(1)加法交换律:a+b= b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c= a+(b+c)
减法
减去向量等于加上这
个向量的相反向量 三角形法则 a-b= a+(-b)
数乘
实数 λ与向量 a的积是
一个向量,这种运算叫
作向量的数乘,记作 λa
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相
同;当λ<0时,λa与a的方向相
反;当λ=0时,λa=0
(1)对向量加法的分配律:
λ(a+b)= λa+λb;
(2) 对实数加法的分配律:
(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a
3.共线向量定理
向量 a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数 λ，使得 .
【注】限定 a≠0的目的是保证实数 λ的存在性和唯一性．
【典例讲练】
题型一 向量的基本概念
【例 1-1】判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若 ，则 一定不与 共线；()
②若 ，则 A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；()
③在平行四边形 ABCD 中，一定有 ；()
④若向量 与任一向量 平行，则 =；()
⑤若 =，=，则 =；()
⑥若，，则.()
【答案】hhhh 错误hhhh 错误hhhh 正确hhhh 正确hhhh 正确hhhh 错误
【解析】
【分析】
根据共线向量的概念判断①，由四点在一条直线上特殊情况判断②，根据平行四边形及向量相等的概念判
断③，由零向量的性质判断④，根据相等向量判断⑤，由特殊情况 判断⑥.
【详解】
①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以 a与b有共线的可能，故①不正确；
② ，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
③在平行四边形 ABCD 中， ， 与 平行且方向相同，故 ，③正确；
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确；
⑤=，则| |=| |且 与 方向相同； =，则| |=| |且 与 方向相同，则 与 方向相同且模相等，
故=，⑤正确；
⑥若 =，由于 的方向与 的方向都是任意的， 可能不成立； ≠ 时， 成立，故⑥不正
确.
故答案为：错误；错误；正确；正确；正确；错误.
归纳总结：
【练习 1-1】下列命题中：
① 存在唯一的实数 ，使得 ；
② 为单位向量，且 ，则 ；
③ ；
④ 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
⑤若 且 ，则 ．
其中正确命题的序号是________.
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据平面共线向量的定义和性质、结合平面向量垂直的性质逐一判断即可.
【详解】
①：只有当 时，才能成立，所以本命题不正确；
②：当 时，显然成立，当 时，因为 ，所以 同向或反向，所以 成立，所以本命
题正确；
③：因为 ，所以本命题正确；
④：当 时，显然 与 共线， 与 共线，但是 与 共线不一定成立，所以本命题不正确；
⑤：当 都与 垂直时，显然 ，但是 不一定成立，
故答案为：②③
题型二 向量的线性运算
【例 2-1】如图所示，解答下列各题：
(1)用 表示 ；
(2)用 表示 ；
(3)用 表示 ；
(4)用 表示 .
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