《九年级数学全册高分突破必练专题（人教版）》专项14 二次函数与几何综合-矩形与菱形存在问题（原卷版）

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专项 14 二次函数与几何综合-矩形与菱形存在问题
考点 1 矩形存在性问题
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）对角线相等的平行四边形；
（3）有三个角为直角的四边形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比
起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下 3 个等式：
（AC 为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有 3 个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有 3 个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有 2 个动点，多则可以有 3 个．
下：
（1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点；
（2）1 个定点+3 个半动点．
思路 1：先直角，再矩形
在构成矩形的 4 个点中任取 3 个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中 3
个点构造直角三角形，再确定第 4 个点．对“2 定+1 半动+1 全动”尤其适用．
【例题】已知 A（1，1）、B（4，2），点 C 在 x 轴上，点 D 在平面中，且以 A、B、C、D
为顶点的四边形是矩形，求 D 点坐标．
解：点
C
满足以
A
、
B
、
C
为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条
件的 点
C
有
在点
C
的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点
D
的坐标．
思路 2：先平行，再矩形
当 AC 为对角线时，A、B、C、D 满足以下 3 个等式，则为矩形：
其中第 1、2 个式子是平行四边形的要求，再加上式 3 可为矩形．表示出点坐标后，代入点
坐标解方程即可．
无论是“2 定 1 半 1 全”还是“1 定 3 半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的
都是三元一次方程组．
考点 2 菱形存在性问题
1．菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．坐标系中的菱形：
有 3 个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有 3 个未知量，与矩形相同．
3．解题思路：
（1）思路 1：先等腰，再菱形
在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第 3 个点，再确定第 4 个点．
（2）思路 2：先平行，再菱形
设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（
AC
、
BD
为对角线），再结合一组邻
边相等，得到方程组．
方法总结：
菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。
【考点 1 矩形的存在性问题】
【典例 1】（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c与坐标
轴交于 A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线 BC：y＝﹣2x+8 交y轴于点 C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点 M，使得四边形 ABCM 为矩形？如果存在，求出点 M
的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式 1-1】（2022•随州）如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＜0）
与x轴分别交于点 A和点 B（1，0），与 y轴交于点 C，对称轴为直线 x＝﹣1，且 OA＝
OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图 2，连接 AC，当点 P在直线 AC 上方时，求四边形 PABC 面积的最大值，并求
出此时 P点的坐标；
（3）设 M为抛物线对称轴上一动点，当 P，M运动时，在坐标轴上是否存在点 N，使
四边形 PMCN 为矩形？若存在，直接写出点 P及其对应点 N的坐标；若不存在，请说明
理由．
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