《九年级数学全册高分突破必练专题（人教版）》专项13 二次函数与几何综合-特殊平行四边形存在问题（原卷版）

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专项 13 二次函数与几何综合-特殊平行四边形存在问题
知识总结：
1.
线段中点坐标公式
2.平行四边形顶点公式：
分类：
1.
三个定点，一个动点问题
已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公
式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往
往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；
2.
两个定点、两个动点问题
这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在 x轴（y轴）或对称轴或某
一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在 x轴上，纵坐标为 0，则用平行
四边形顶点纵坐标公式；若在 y轴上，横坐标为 0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该
动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。
方法总结：
这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的
动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分
类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，
不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，
而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合
的思想。
【考点 1 三定一动类型】
【 典 例 1】 （ 2022• 乐 业 县 二 模 ） 如 图 ， 抛 物 线 y＝ax2+bx 3﹣与x轴 交 于 A（ ﹣
1，0）、B（3，0）两点，直线 l与抛物线交于 A、C两点，其中点 C的横坐标是 2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点 P，使得△PBC 的周长最小，并求出点 P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点 E，使得以 E、A、B、C为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由．
【 变 式 1-1 】（2022• 宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过
A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为 D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求经过 A、D两点的直线的表达式；
（3）设 P为直线 AD 上一点，且以 A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点 P
的坐标．
【 变 式 1-2 】 （ 2021 秋 • 建 昌 县 期 末 ） 如 图 ， 抛 物 线 y＝ ﹣ x2+bx+c与x轴 交 于
A（1，0），B（﹣3，0）两点，与 y轴交于点 C，P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 P在直线 BC 上方的抛物线上时，求△PBC 的最大面积，并直接写出此时 P
点坐标；
（3）若点 M在抛物线的对称轴上，以 B，C，P，M为顶点、BC 为边的四边形能否是
平行四边形？若能，请直接写出点 P的坐标；若不能，请说明理由．
【考点 2 两定两动类型】
【典例 2】（2022•牡丹区三模）如图，直线 y＝﹣x+4 与x轴交于点 C，与 y轴交于点 B，
抛物线 y＝ax2+x+c经过 B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当点 E到直线 BC 的距离最大时，求点 E的
坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P，Q，B，C为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
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