《九年级数学全册高分突破必练专题（人教版）》专项13 二次函数与几何综合-特殊平行四边形存在问题（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 17 4 1.19MB 38 页 3知币
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专项 13 二次函数与几何综合-特殊平行四边形存在问题
知识总结：
1.
线段中点坐标公式
2.平行四边形顶点公式：
分类：
1.
三个定点，一个动点问题
已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公
式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往
往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；
2.
两个定点、两个动点问题
这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在 x轴（y轴）或对称轴或某
一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在 x轴上，纵坐标为 0，则用平行
四边形顶点纵坐标公式；若在 y轴上，横坐标为 0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该
动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。
方法总结：
这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的
动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分
类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，
不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，
而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合
的思想。
【考点 1 三定一动类型】
【 典 例 1】 （ 2022• 乐 业 县 二 模 ） 如 图 ， 抛 物 线 y＝ax2+bx 3﹣与x轴 交 于 A（ ﹣
1，0）、B（3，0）两点，直线 l与抛物线交于 A、C两点，其中点 C的横坐标是 2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点 P，使得△PBC 的周长最小，并求出点 P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点 E，使得以 E、A、B、C为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx 3﹣与x轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 y＝x22﹣x3﹣；
（2）∵y＝x22﹣x3﹣＝（x1﹣）24﹣，
∴抛物线的对称轴为 x＝1，
∵A、B关于直线 x＝1对称，所以 AC 与对称轴的交点为点 P，
此时 C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，
此时△BPC 的周长最短，
∵点 C的横坐标是 2，
yC＝222×2 3﹣ ﹣ ＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
设直线 AC 的解析式为 y＝mx+n（m≠0），
∴ ，
解得： ，
∴直线 AC 的解析式为 y＝﹣x1﹣，
当x＝1时，y＝﹣1 1﹣＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）存在一点 E，使得以 E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设 E（x，y），
①当AB 为对角线时，
则 ，
解得： ，
∴E（0，3）；
②当AC 为对角线时，
则 ，
解得： ，
∴E（﹣2，﹣3）；
③当BC 为对角线时，
则 ，
解得： ，
∴E（6，﹣3）．
综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．
【 变 式 1-1 】（2022• 宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过
A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为 D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求经过 A、D两点的直线的表达式；
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