《九年级数学全册高分突破必练专题（人教版）》专项11 二次函数与几何综合-面积问题（原卷版）

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专项 11 二次函数与几何综合-面积问题

【方法 1直接法】

一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边

【方法 2 铅锤法】

（1）求

、

两点水平距离，即水平宽；

（2）过点

作

轴垂线与

交于点

，可得点

横坐标同点

；

（3）求直线

解析式并代入点

横坐标，得点

纵坐标；

（4）根据

、

坐标求得铅垂高

（5）

【方法 3 其他面积方法】

如图 1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图 2，同底三角形的面积比等于高的比．

如图 3，同高三角形的面积比等于底的比．

如图 1 如图 2 如图 3

【方法 4 利用相似性质】

利用相似图形，面积比等于相似比的平方。

【方法 1 铅锤法求面积】

【典例 1】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A（﹣

2，0），点 B（4，0），与 y轴交于点 C（0，8），连接 BC．又已知位于 y轴右侧且垂

直于 x轴的动直线 l，沿 x轴正方向从 O运动到 B（不含 O点和 B点），且分别交抛物线、

线段 BC 以及 x轴于点 P，D，E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）作 PF⊥BC，垂足为 F，当直线 l运动时，求 Rt△PFD 面积的最大值．

【变式 1-1 】（娄底）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A（ ﹣ 1，0），点

B（3，0），与 y轴交于点 C，且过点 D（2，﹣3）．点 P、Q是抛物线 y＝ax2+bx+c上的

动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 P在直线 OD 下方时，求△POD 面积的最大值．

【变式 1-2】（2021 秋•龙江县校级期末）综合与探究

如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+4 经过 A（﹣1，0），B（4，0）两点，交 y轴于点 C．

（1）求抛物线的解析式，连接 BC，并求出直线 BC 的解析式；

（2）请在抛物线的对称轴上找一点 P，使 AP+PC 的值最小，此时点 P的坐标是　（，

）　；

（3）点 Q在第一象限的抛物线上，连接 CQ，BQ，求出△BCQ 面积的最大值．

（4）点 M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使得以 A、C、M、N四点为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式 1-2】（2022 春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c与x

轴交于 A（﹣1，0），B（3，0），交 y轴于点 C，且 OC＝3．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点 P为直线 BC 下方抛物线上的一点，连接 AC、BC、CP、BP，求四边形 PCAB

的面积的最大值，以及此时点 P的坐标；

【方法 2 其他方法】

【典例 2】（深圳）如图抛物线 y＝ax2+bx+c经过点 A（﹣1，0），点 C（0，3），且 OB＝

OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点 P为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3：5两部分，

求点 P的坐标．

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