《九年级数学全册高分突破必练专题（人教版）》专项10 二次函数和线段和差最值问题（解析版）

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专项 10 二次函数和线段和差最值问题

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、

四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等

图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

“两点定点一定长”

模型一：当两定点 A、B 在直线 l 异侧时，在直线 l 上找一点 P，使 PA+PB 最小。

作法：连接 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求作的点。

结论：PA+PB 值最小

模型二：

作法：作点 B关于直线 l的对称点 B’，连接 AB’与直线 l 相交的点 P 即为所求

结论：AP+PB’值最小

模型三：

当两定点 A、B 在直线 l 同侧时，在直线 l 上找一点 P，使最大。

作法：接 AB 并延长交直线 l 于点 P，点 P 即为所求作的点。

结论：的最大值为 AB。

当 l 两 B 定点 A、B 在直线 l 异侧时，在直线 l 上找一点 P，使最大。

作法：作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′并延长交直线于点 P，点 P 即为所求作

的点。

结论：的最大值为 AB′

模型四：

当 l 两定点 A、B 在直线 l 同侧时，在直线 l 上找一点 P，使最

小。

作法：连接 AB，作 AB 的垂直平分线交直线 l 于点 P，点 P 即为所求作的

点。

结论：的最小值为 0

【考点 1 线段最值问题】

【典例 1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+4 交y轴于点 C，交 x

轴于 A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点 M是抛物线上的动点，点 M在顶点和 B点

之间运动（不包括顶点和 B点），ME∥y轴，交直线 BC 于点 E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段 ME 的最大值；

【解答】解：（1）将点 A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a2﹣b+4，

则，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+x+4；

（2）y＝﹣ x2+x+4，令 x＝0，则 y＝4，令 y＝0，则 x＝4或﹣2，

故点 A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）、（0，4），

设直线 BC 的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，

故直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+4，

设点 M（x，﹣ x2+x+4），则点 E（x，﹣x+4），

则ME＝（﹣ x2+x+4）﹣（x4﹣）＝﹣ x2+2x，

∵ ，故 ME 有最大值，当 x＝2时，ME 的最大值为 2；

【变式 1-1 】（2021• 柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为

C（1，0），直线 y＝x+m与该二次函数的图象交于 A、B两点，其中 A点的坐标为

（3，4），B点在轴 y上．

（1）求 m的值及这个二次函数的关系式；

（2）P为线段 AB 上的一个动点（点 P与A、B不重合），过 P作x轴的垂线与这个二

次函数的图象交于点 E点，设线段 PE 的长为 h，点 P的横坐标为 x．

①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；

②线段 PE 的长 h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的 x值；若不存在，

请说明理由？

【解答】解：（1）∵点 A（3，4）在直线 y＝x+m上，

∴4＝3+m．

∴m＝1．

设所求二次函数的关系式为 y＝a（x1﹣）2．

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