《九年级数学全册高分突破必练专题（人教版）》专项09 二次函数的字母系数的相关问题（解析版）

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专项 09 二次函数的字母系数的相关问题
1.二次函数中 a、b、c 及 b2-4ac 的符号之间的关系
项目
字母 字母的符号 图象的特征
aa＞0 开口向上
a＜0 开口向下
bab＞0(a，b 同号) 对称轴在 y 轴左侧
ab＜0(a，b 异号) 对称轴在 y 轴右侧
c
c=0 图象过原点
c＞0 与 y 轴正半轴相交
c＜0 与 y 轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0 与 x 轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与 x 轴有两个交点
b2-4ac＜0 与 x 轴没有交点
2. 根据二次函数图像判断 a，b，c的关系式与 0的关系
关系式 实际比较
2a+b
比较
2a+b
比较
a+b+c 令 x=1，看纵坐标
a-b+c 令 x=-1，看纵坐标
4a+2b+c 令 x=2，看纵坐标
4a-2b+c 令 x=-2，看纵坐标
【考点 1 对称轴】
【典例 1】如图，二次函数
y=a x2+bx +c
的图象经过点
A
（1，0），
B
（4，0），下列说法正确的是（　　）
A．
b2−4ac <0
B．
a − b+c>0
C．图象的对称轴是直线
x=2
D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【解答】解：
∵
二次函数
y=a x2+bx +c
的图象经过点
A
（1，0），
B
（4，0），
∴b2−4ac
＞
0，
故
A
不符合题意，
当
x=−1
时，
y=a −b+c ,
由函数图像可得：
(−1，a −b+c)
在第三象限，
所以
a − b+c
＜
0，
故
B
不符合题意，
∵
二次函数
y=a x2+bx +c
的图象经过点
A
（1，0），
B
（4，0），
∴
图象的对称轴是直线
x=1+4
2=2.5 ，
故
C
不符合题意，
D
符合题意，
故答案为：D
【变式 1-1】二次函数
y=a x2+bx +c
的图象如图所示，对称轴是
x=1
，下列结论正
确的是（　　）．
A．
abc >0
B．
2a+b<0
C．
3b −2c<0
D．
3a+c<0
【答案】D
【解答】解：∵
−b
2a=1>0
，
∴
ab<0
，
∵抛物线与 y轴交于正半轴，
∴
c>0
，
∴
abc <0
，
故A不符合题意；
∵
−b
2a=1
，
∴
2a+b=0
，
故B不符合题意；
∵
x=−1
时，
y=a-b+c
¿0
，
∴2a-2b+2c
¿0
，
∵
−b
2a=1
，
∴
2a=−b
，
∴-b-2b+2c
¿0
，
∴3b-2c
¿0
，
故C不符合题意；
∵
x=−1
时，
y=a-b+c
¿0
，
∵
−b
2a=1
，
∴
2a=−b
，
∴3a+c
¿0
，
故D符合题意；
故答案为：D．
【变式 1-2】若
A(m, 6)
与
B(4−m , 6)
在抛物线
y=a x2+bx +c
的图象上，则其对
称轴是（　　）
A．
x=3
B．
x=−3
C．
x=2
D．
x=2−m
【答案】C
【解答】解：∵A（m，6）与 B（4-m，6）在抛物线
y=a x2+bx +c
的图象上，
∴A（m，6），B（4-m，6）关于对称轴对称，
即对称轴过 A（m，6），B（4-m，6）的中点，
x=m+4− m
2=4
2=2
，
故答案为：C．
【考点 2 a、b、c 及 b²-4ac 对图像的影响】
【典例 2】抛物线 y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线 x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判
断中：① abc＞0；② b24ac﹣＞0；③ 9a 3b﹣＋c＝0；④ 8a 2b﹣＋c＞0；⑤若点（﹣
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