《九年级数学全册高分突破必练专题（人教版）》专项08 二次函数的图像与性质（解析版）

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专项 08 二次函数的图像与性质
考点 1 根据函数解析式判断函数性质
函数 二次函数
2
y ax bx c  
（a、b、c 为常数，a≠0）
图象
0a
0a
开口方向 向上 向下
对称轴
直线
2
b
xa
 
直线
2
b
xa
 
顶点坐标
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
增减性
在对称轴的左侧，即当
时，y 随 x 的
增大而减小；在对称轴的右侧，即当
2
b
xa
 
时，y 随 x 的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当
时，y
随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，
即 当
2
b
xa
 
时 ， y 随 x 的 增 大 而 减
小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有 最 低 点，当
2
b
xa
 
时，y 有最 小
值，
2
4
4
ac b
ya
最小值
抛物线有最高点，当
2
b
xa
 
时，y 有
最大值，
2
4
4
ac b
ya
最大值
考点 2 根据函数解析式判断函数图像
a 的正负决定开口方向 a＞0 开口向上
a＜0开口向下
a，b 共同决定对称轴位置
b=0 对称轴为 y 轴
a,b 同号 对称轴在 y 左侧
a,b 异号 对称轴在 y 轴右侧
c 决定与 y 轴交点位置 C=0 抛物线过原点
c＞0 抛物线与 y 轴交于正半轴
c＜0 抛物线与 y 轴交于负半轴
b²-4ac 决定与 x 轴交点个数
b²-4ac=0 与 x 轴有唯一交点
b²-4ac＞0 与 x 轴有两个交点
b²-4ac＜0 与 x 轴没有交点
一、选择题
1．（2022 春•九龙坡区校级期末）已知 a是不为 0的常数，函数 y＝ax 和函数 y＝﹣ax2+a
在同一平面直角坐标系内的图象可以是（　　）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：当 a＞0时，y＝ax 的函数图像经过原点和一，三象限，y＝﹣ax2+a的图像
开口向下，与 y轴交于正半轴．
当a＜0时，y＝ax 函数图像经过原点和二，四象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向上，与 y
轴交于负半轴．
故选：C．
2．（2022•郴州）关于二次函数 y＝（x1﹣）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是 5
D．当 x＞1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：y＝（x1﹣）2+5 中，
x2的系数为 1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为 5，C错误；
函数图象的对称轴为 x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，
D正确．
故选：D．
3．（2022•烟台）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线 x＝
﹣ ，且与 x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；
③2a+c＝0；④关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c1﹣＝0有两个相等的实数根．其中正
确结论的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】D
【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0， ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知： ＝﹣ ，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入 y＝ax2+bx+c，
∴4a2﹣b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数 y＝ax2+bx+c的最小值小于 0，
令y＝1代入 y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
4．（2022•梧州模拟）在函数①y＝4x2，②，③中，图象开口大小顺序
用序号表示应为（　　）
A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③
【答案】C
【解答】解：∵|4|＝4，| |＝ ，|﹣|＝ ，
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