《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题62 三角函数的应用(解析版)

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专题 62 三角函数的应用

1．三角函数模型的作用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在

刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．

2．解三角函数应用题的基本步骤：

(1)审清题意；

(2)搜集整理数据，建立数学模型；

(3)讨论变量关系，求解数学模型；

(4)检验，作出结论．

题型一三角函数模型在物理学中的应用

1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O的距离 s(cm)和时间 t(s)的函数

关系式为 s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)

A．2π s　　　　　 B．π s

C．0.5 s D．1 s

[解析]依题意是求函数 s＝6sin 的周期，T＝＝1，故选 D.

2．如图所示，一个单摆以 OA 为始边，OB 为终边的角 θ(－π<θ<π)与时间 t(s)满足函数关系

式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当 t＝0时，角 θ的大小及单摆频率是________．

[解析]当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为.

3．在两个弹簧上各有一个质量分别为 M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间 t

(s)离开平衡位置的位移 s1(cm)和s2(cm)分别由 s1＝5sin，s2＝10cos 2t确定，则当 t＝ s时，s

1与s2的大小关系是(　　)

A．s1＞s2　　B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定

[解析]当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，当t＝时，s2＝10cos＝10×＝－5，故s1＝s2.

4．一根长 l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移 s

(cm)与时间 t(s)的函数关系式为 s＝3cos，其中 g是重力加速度，当小球摆动的周期是 1 s 时，

线长 l＝__cm.

[解析]由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.

5．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这

个振子振动的函数解析式是________．

[解析]由题图可设 y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，

所以 ω＝＝π，所以 y＝2sin，将点(0.1,2)代入 y＝2sin 中，

得sin＝1，所以 φ＋＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，

令k＝0，得φ＝，所以 y＝2sin.

6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字

路口的车流量由函数 F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则

下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)

A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]

[解析]当10≤t≤15 时，有π<5≤≤<π，此时 F(t)＝50＋4sin 是增函数，即车流量在增加．故

应选 C.

7．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)

A．该质点的振动周期为 0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm

C．该质点在 0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大 D．该质点在 0.3 s 和0.7 s 时的加速度

为零

[解析]该质点的振动周期为 T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故 A是错误的；该质点的振幅为 5 c

m，故 B是错误的；该质点在 0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，所以 C是错误的．故选 D.

8．如图表示电流 I与时间 t的关系 I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函

数的解析式为(　　)

A．I＝300sin B．I＝300sin

C．I＝300sin D．I＝300sin

[解析]由图象得周期 T＝2＝，最大值为 300，图象经过点，

则ω＝＝100π，A＝300，∴I＝300sin(100πt＋φ)．∴0＝300sin.

∴sin＝0.取φ＝，∴I＝300sin.

9．如图，设点 A是单位圆上的一定点，动点 P从点 A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，

点P所旋转过的弧的长为 l，弦 AP 的长为 d，则函数 d＝f(l)的图象大致是(　　)

A　　　　B　　　C　　　　D

[解析]令AP 所对圆心角为 θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin，

即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为 C.

10．已知点 P是单位圆上的一个质点，它从初始位置 P0开始，按逆时针方向以角速度 1 rad

/s 做圆周运动，则点 P的纵坐标 y关于运动时间 t(单位：s)的函数关系式为(　　)

A．y＝sin，t≥0 B．y＝sin，t≥0

C．y＝－cos，t≥0 D．y＝－cos，t≥0

[解析]由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为 t·1＝t，则∠POx 的弧度数为 t－，则由任意角

的三角函数的定义，知点 P的纵坐标 y＝sin，t≥0，故选 A.

11．如图所示，点 O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，

若已知振幅为 3 cm，周期为 3 s，且物体向右运动到 A点(距平衡位置最远处)开始计时．

(1)求物体离开平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系式；

(2)求t＝5 s 时，该物体的位置．

[解析] (1)设位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系式为 x＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2

π)，

则由振幅为 3 cm，周期为 3 s，可得 A＝3，T＝＝3，得 ω＝.

又物体向右运动到 A点(距平衡位置最远处)开始计时，∴当 t＝0时，x＝3sinφ＝3，∴sinφ＝

∵0≤φ＜2π，∴φ＝，从而所求的函数关系式是 x＝3sin＝3cost.

(2)令t＝5，得 x＝3cos＝－1.5，故 t＝5 s 时，该物体在 O点左侧且距 O点1.5 cm 处．

12．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变

化规律为 s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．

(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

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