《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题61 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(解析版)

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专题 61 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用

知识点一　　函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义

(1)简谐运动的振幅就是 A.

(2)简谐运动的周期 T＝.

(3)简谐运动的频率 f＝＝.

(4)ωx＋φ称为相位．

(5) x＝0时的相位 φ称为初相．

知识点二　函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

题型一已知函数图象求解析式

1．如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．

[解析]解法一：逐一定参法：由图象知 A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．

∵点在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－×2＋φ＝2kπ，得 φ＝＋2kπ(k∈Z)．

∵|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin.

解法二：待定系数法由图象知 A＝3.∵图象过点和，且由图象的上升及下降趋势，

可得解得∴y＝3sin.

解法三：图象变换法

由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由 y＝3sin2x向左平移个单位长度而得，

所以 y＝3sin2，即 y＝3sin.

2．函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 φ的值为(　　)

A．－ B. C．－ D.

[解析]由图象知 T＝＝2＝π，所以 ω＝2，2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因为－<φ<，

所以 φ＝－.故选 A.

3．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．

[解析]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅 A＝3，T＝－＝π，所以 ω＝2，又由点，

根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，所以 f(x)＝3sin.

法二：(方程法)由图象知，振幅 A＝3，T＝－＝π，所以 ω＝2，又图象过点，

所以 f＝3sin＝0，

所以 sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以 k＝0，φ＝，所以 f(x)＝3sin.

法三：(变换法)由图象知，振幅 A＝3，T＝－＝π，所以 ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由 y

＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为 f(x)＝3sin＝3sin.

4．如图所示为函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，则函数的一个解析式为(　　)

A．y＝2sin B．y＝2sin

C．y＝2sin D．y＝2sin

[解析]由图象知 A＝2，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2，

∵图象过，∴2＝2sin，∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

∴φ＝＋2kπ，k∈Z，又∵0<|φ|<，∴φ＝.∴函数解析式 y＝2sin.

5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)

A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos

[解析]由图知 T＝4×＝π，∴ω＝＝2.

又x＝时，y＝1，经验证，可得 D项解析式符合题目要求．[答案]　D

6．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则 f等于(　　)

A. B．0 C．2 D．－2

[解析]解法一：由图可知，T＝－＝π，即 T＝，∴ω＝＝3.

∴y＝2sin(3x＋φ)，将代入上式得，sin＝0，又是图象上升的趋势的点，

∴＋φ＝2kπ，k∈Z，则 φ＝2kπ－.∴f＝2sin＝0.

解法二：由图可知，T＝－＝π，即 T＝.

又由正弦图象性质可知，若 f(x0)＝0，则 f＝0.∴f＝f＝0.[答案]　B

7．已知函数 f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则(　　)

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