《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题60 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(解析版)

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专题 60 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

4．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：

(1)A越大，函数的最大值越大，最大值与 A是正比例关系．

(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与 ω为反比例关系．

(3)φ大于 0时，函数 y＝Asinωx 的图象向左平移个单位长度得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，

φ小于 0时，函数 y＝Asinωx 的图象向右平移个单位长度得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，

即“加左减右”．

5．由函数 y＝sinx的图象通过变换得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

6．由 y＝sin x的图象，通过变换可得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图

象，

其变化途径有两条：

(1)y＝sin x――――→y＝sin(x＋φ)――――→y＝sin(ωx＋φ)――――→y＝Asin(ωx＋φ)．

(2)y＝sin x――――→y＝sin ωx――――→y＝sin＝sin(ωx＋φ)――――→y＝Asin(ωx＋φ)．

题型一用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象　

1．用“五点法”画函数 y＝2sin(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则

ω＝________.

[解析]因为周期 T＝－＝π，所以＝π，所以 ω＝2.

2．用“五点法”作出函数 y＝sin 的简图．

[解析]函数 y＝sin 的周期 T＝＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．

列表如下：

xπ 4π 7π

x－0 π 2π

sin 0 0 －0

描点、连线，如图所示，

利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数 y＝sin

的简图(图略)．

3．已知 f(x)＝2sin.

(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数 f(x)在一个周期内的图象；

(2)写出 f(x)的单调递增区间；

(3)求f(x)的最大值和此时相应的 x的值．

[解析] (1)列表：

＋0 π 2π

x－

f(x) 0 2 0 －20

作图：

(2)由2kπ－≤＋≤2kπ＋，得 4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.

所以函数 f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(3)当＋＝＋2kπ，即 x＝＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.

4．函数 y＝sin 在区间上的简图是(　　)

[解析]当x＝0时，y＝sin＝－<0，排除 B，D.当x＝时，sin＝sin0＝0，排除 C，故选 A.

5．函数 y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的所有零点之和为________．

[解析]函数 y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点即方程 2sin πx＝的根，

作函数 y＝2sin πx与y＝的图象如下：由图可知共有 8个公共点所以原函数有 8个零点．

y＝2sin πx－＝2sin π(1－x)－，令t＝1－x，则y＝2sin πt－，t∈[－3,3]，

该函数是奇函数，故零点之和为 0.所以原函数的零点之和为 8.

题型二三角函数图象之间的变换

1．已知函数 y＝sin＋，该函数的图象可由 y＝sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？

[解析]解法一：步骤：①把函数 y＝sinx的图象向左平移个单位长度，可以得到函数 y＝sin

的图象；

②把函数 y＝sin 的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数 y＝sin

的图象；

③把函数 y＝sin 的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数 y＝sin

(2x＋)的图象；

④再把得到的函数 y＝sin 的图象向上平移个单位长度，就能得到函数 y＝sin＋的图象．

解法二：步骤：①把函数 y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得

到函数 y＝sin2x的图象；

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