《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题59 三角恒等变换的简单应用(原卷版)

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专题 59 三角恒等变换的简单应用
1.辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ).
推导过程：asinx＋bcosx＝.
令cosφ＝，sinφ＝，
则asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)，
其中角 φ所在象限由 a，b的符号确定，角 φ的值由 tanφ＝确定或由 sinφ＝和 cosφ＝共同确
定．
题型一 恒等变换与三角函数图象性质的综合
1．已知 f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则 f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(　　)
A．2π， B．π，
C．2π， D．π，
2．函数 f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．
3．函数 y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是
4．函数 f(x)＝sinx(cosx－sinx)的最小正周期是
5．函数 f(x)＝sinx－cosx，x∈的最小值为______．
6．若函数 f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a在区间上的最大值与最小值的和为，则 a＝
7．已知函数 f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线 x＝a对称，则最小正实数 a的值为
8．若动直线 x＝a与函数 f(x)＝sin xcos x和g(x)＝cos2x的图象分别交于 M，N两点，则 MN
的最大值为________．
9．函数 f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是
10．使函数 f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的 θ的一个值是(　　)
A. B. C. D.
11．函数 f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是
12．设函数 f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中 ω>0，a∈R)，且 f(x)的图象在 y轴右侧的第
一个最高点的横坐标为.则ω的值为
13．已知函数 f(x)＝，则(　　)
A．函数 f(x)的最大值为，无最小值 B．函数 f(x)的最小值为－，最大值为 0
C．函数 f(x)的最大值为，无最小值 D．函数 f(x)的最小值为－，无最大值
14．函数 f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
15．在△ABC 中，若 3cos2＋5sin2＝4，则 tanAtanB＝________.
16．已知 A＋B＝，那么 cos2A＋cos2B的最大值是______，最小值是________．
17．若函数 f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则 f(x)的最大值是
18．函数 y＝cos2＋sin2－1(　　)
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
19．在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos2，则△ABC 是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
20．已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos －cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f(x)在上的单调递增区间．
21．已知函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求证：当 x∈时，f(x)≥0.
22．已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且 f(α)＝，求 α的值．
23．已知 f(x)＝5sinxcosx－5cos2x＋(x∈R)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的对称轴、对称中心．
24．已知函数 f(x)＝sin－2sin2x.
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求函数 f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(3)当0≤x≤时，求函数 f(x)的最大、最小值．
25．已知 f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x.
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若θ∈，f＝，求 sin 的值．
26．已知函数 f(x)＝2cos2，g(x)＝2.
(1)求证：f＝g(x)；
(2)求函数 h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使 h(x)取到最小值时 x的值．
27．已知函数 f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
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