《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题59 三角恒等变换的简单应用(解析版)

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专题 59 三角恒等变换的简单应用

1.辅助角公式

辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ).

推导过程：asinx＋bcosx＝.

令cosφ＝，sinφ＝，

则asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)，

其中角 φ所在象限由 a，b的符号确定，角 φ的值由 tanφ＝确定或由 sinφ＝和 cosφ＝共同确

定．

题型一恒等变换与三角函数图象性质的综合

1．已知 f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则 f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(　　)

A．2π， B．π，

C．2π， D．π，

[解析]∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，∴f(x)的最小正周期 T＝＝π，

由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得f(x)的单调减区间为＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间，故选 B.

2．函数 f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．

[解析]f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.

当sin x＝1时，f(x)取得最大值 3，当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，

所以函数 f(x)的值域为[－5,3]．

3．函数 y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是

[解析]　y＝sin2x＋＝sin＋∈

4．函数 f(x)＝sinx(cosx－sinx)的最小正周期是

[解析]由f(x)＝sinx(cosx－sinx)＝sinxcosx－sin2x＝sin2x－＝sin－，

可得函数 f(x)的最小正周期为 T＝＝π

5．函数 f(x)＝sinx－cosx，x∈的最小值为______．

[解析]　∵f(x)＝＝sin，

x∈，∴x－∈，∴f(x)的最小值为 sin＝－1

6．若函数 f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a在区间上的最大值与最小值的和为，则 a＝

[解析]f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a＝sin 2x＋cos 2x＋＋a＝sin＋＋a，因为－≤x≤，

所以－≤2x＋≤，则－≤sin≤1.又f(x)的最大值与最小值的和为，

所以＋＝，解得 a＝0.

7．已知函数 f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线 x＝a对称，则最小正实数 a的值为

[解析]因为 f(x)＝sin x＋cos x＝2＝2sin，

所以其对称轴方程为 x＋＝kπ＋，k∈Z.

解得 x＝kπ＋，k∈Z.又函数 f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线 x＝a对称，所以 a＝kπ＋，k

∈Z.

当k＝0时，最小正实数 a的值为.

8．若动直线 x＝a与函数 f(x)＝sin xcos x和g(x)＝cos2x的图象分别交于 M，N两点，则 MN

的最大值为________．

[解析]f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，g(x)＝cos2x＝，

所以 MN＝|f(a)－g(a)|＝＝，

则当 sin＝－1时，MN 取得最大值，为.

9．函数 f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是

[解析]　∵f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝sin＋.

又x∈，∴2x－∈，∴sin∈，∴sin＋∈.

即f(x)∈.故f(x)在区间上的最大值为.

10．使函数 f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的 θ的一个值是(　　)

A. B. C. D.

[解析]f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.

当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函数．[答案]　D

11．函数 f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是

[解析]　∵f(x)＝2sin，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

令k＝0得增区间为.∵x∈[－π，0]，∴f(x)的单调递增区间为

12．设函数 f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中 ω>0，a∈R)，且 f(x)的图象在 y轴右侧的第

一个最高点的横坐标为.则ω的值为

[解析]f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a＝sin＋＋a，依题意得 2ω·＋＝，解之得 ω＝.

13．已知函数 f(x)＝，则(　　)

A．函数 f(x)的最大值为，无最小值 B．函数 f(x)的最小值为－，最大值为 0

C．函数 f(x)的最大值为，无最小值 D．函数 f(x)的最小值为－，无最大值

[解析]因为 f(x)＝＝＝＝－tanx，0<x≤，

所以函数 f(x)的最小值为－，无最大值，故选 D.

14．函数 f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．

[解析]　f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)＝sin2x＋cos2x－＝sin－，

所以 T＝＝π.

15．在△ABC 中，若 3cos2＋5sin2＝4，则 tanAtanB＝________.

[解析]　因为 3cos2＋5sin2＝4，所以 cos(A－B)－cos(A＋B)＝0，

所以 cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝0，

即cosAcosB＝4sinAsinB，所以 tanAtanB＝.

16．已知 A＋B＝，那么 cos2A＋cos2B的最大值是______，最小值是________．

[解析]∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝(1＋cos2A＋1＋cos2B)＝1＋(cos2A＋cos2B)＝1＋cos(A＋

B)cos(A－B)

＝1＋cos·cos(A－B)＝1－cos(A－B)，∴当 cos(A－B)＝－1时，原式取得最大值；

当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.

17．若函数 f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则 f(x)的最大值是

[解析]f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＝sin x＋cos x＝2sin.

∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当 x＋＝时，f(x)取到最大值 2.

18．函数 y＝cos2＋sin2－1(　　)

A．是奇函数 B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

[解析]y＝＋－1＝＝sin2x，是奇函数．故选 A.

19．在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos2，则△ABC 是(　　)

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．不等边三角形 D．直角三角形

[解析]由已知得，sinAsinB＝，又∵cosC＝－cos(A＋B)，∴2sinAsinB＋cos(A＋B)＝1，

∴cos(A－B)＝1，∵0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，∴A－B＝0，

∴△ABC 是等腰三角形，故选 B.

20．已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos －cos2x＋.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)求f(x)在上的单调递增区间．

[解析]f(x)＝(－cos x)·(－sin x)－·＋＝sin 2x－cos 2x＝sin.

(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即 kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，所以 f(x)在上单调递增，

即f(x)在上的单调递增区间是.

21．已知函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.

(1)求函数 f(x)的最小正周期；

(2)求证：当 x∈时，f(x)≥0.

[解析] (1)因为 f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1，

所以函数 f(x)的最小正周期为 π.

(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.

当x∈时，2x－∈，sin∈，

sin＋1∈[0，＋1]．当 2x－＝－，即 x＝0时，f(x)取得最小值 0.

所以当 x∈时，f(x)≥0.

22．已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

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