《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题58 简单的三角恒等变换(解析版)

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专题 58 简单的三角恒等变换

知识点一半角公式

(1)sin＝± ，

(2)cos＝± ，

(3)tan＝± ，

(4)tan＝＝＝，tan＝＝＝.

知识点二积化和差与和差化积公式

(1)积化和差公式

sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

(2)和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sincos. sinα－sinβ＝2cossin.

cosα＋cosβ＝2coscos. cosα－cosβ＝－2sinsin.

知识点三辅助角公式

辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ).

推导过程：asinx＋bcosx＝.

令cosφ＝，sinφ＝，

则asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)，

其中角 φ所在象限由 a，b的符号确定，

角φ的值由 tanφ＝确定或由 sinφ＝和 cosφ＝共同确定．

题型一求值问题

类型一应用半角公式求值

1．已知 tan＝3，则 cosθ等于

[解析]cosθ＝cos2－sin2＝＝＝＝－.

2．已知 sinα＝－，π<α<，求 sin，cos，tan 的值．

[解析]　∵π<α<，sinα＝－，∴cosα＝－，且<<，

∴sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝＝－2.

3．已知 α为钝角，β为锐角，且 sin α＝，sin β＝，求 cos 的值．

[解析]因为 α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以 cos α＝－，cos β＝.

所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

因为＜α＜π且0＜β＜，所以 0＜α－β＜π，即 0＜＜.

所以 cos ＝＝＝.

4．已知 sin－cos＝－，450°<α<540°，求 tan 的值．

[解析]由题意得 2＝，即 1－sinα＝，得 sinα＝.

∵450°<α<540°，∴cosα＝－，∴tan＝＝＝＝＝2.

5．已知 cos α＝，α∈，则 sin 等于

[解析]由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.

6．已知 2π＜θ＜4π，且 sin θ＝－，cos θ＜0，则 tan 的值等于________．

[解析] 由sin θ＝－，cos θ＜0得cos θ＝－，

∴tan＝＝＝＝＝－3

7．设 5π＜θ＜6π，cos＝a，则 sin 等于(　　)

A.　　　 B.

C．－ D．－

[解析]∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.又cos＝a，∴sin＝－＝－.

8．已知 cos θ＝－，且 180°<θ<270°，求 tan .

[解析]法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan <0，

∴tan ＝－＝－＝－2.

法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，

∴sin θ＝－＝－＝－，∴tan ＝＝＝－2.

9．若 θ是第二象限角，且 25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则 cos ＝________.

[解析] 由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝或 sin θ＝－1(舍去)．

故cos θ＝－＝－，由cos2 ＝得 cos2 ＝.

又是第一、三象限角，所以 cos ＝±.

类型二求值

1．已知＝，则的值为

[解析]∵·＝＝＝－1且＝，∴＝－.

2．在△ABC 中，若 cos A＝，则 sin2＋cos 2A＝

[解析]sin2＋cos 2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝－.

3．已知 tan 2α＝，α∈，函数 f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数 x，不等

式f(x)≥0恒成立，则 sin 的值为

[解析]由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或 tan α＝－3.

又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2tan α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，

所以 sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以 sin＝sin αcos－cos αsin＝－

4．若 3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则 φ＝________．

[解析]因为 3sin x－cos x＝2＝2sin，因为 φ∈(－π，π)，所以 φ＝－.

5．已知 cos·cos＝，θ∈，则 sin θ＋cos θ的值是

[解析]cos·cos＝sincos＝sin＝cos 2θ＝.

所以 cos 2θ＝.因为 θ∈，所以 2θ∈，所以 sin 2θ＝－，且 sin θ＋cos θ＜0.

所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝.所以 sin θ＋cos θ＝－.

6．sin＝，则 cos＝

[解析]　cos＝2cos2－1.∵＋＝，∴cos＝sin＝.

∴cos＝2×2－1＝－.

7．已知 sinα＋cosα＝，则 2cos2－1＝

[解析]　sinα＋cosα＝，两边平方可得 1＋sin2α＝，可得 sin2α＝－，

2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.

8．若 θ∈，sin2θ＝，则 sinθ等于

[解析]　因为 θ∈，所以 2θ∈，

故cos2θ≤0，所以 cos2θ＝－＝－＝－.

又cos2θ＝1－2sin2θ，所以 sin2θ＝＝＝.

又θ∈，所以 sinθ＝

9．设 α为第四象限角，且＝，则 tan2α＝________.

[解析]　∵α为第四象限的角，∴sinα<0，cosα>0

∵＝＝＝2cos2α＋cos2α＝4cos2α－1＝

∴cosα＝，sinα＝－，tanα＝－，∴tan2α＝＝－.

10．若 cosα＝－，α是第三象限角，则的值为

[解析]　由 cosα＝－，α是第三象限角，可得 sinα＝－＝－.

所以＝＝＝＝－.

11．若 tanx＝，则＝________.

[解析]　原式＝＝＝＝＝2－3.

12．已知 sin＝，cos2α＝，则 tan＝

[解析]由sin＝⇒sinα－cosα＝　①，cos2α＝⇒cos2α－sin2α＝，

所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝　②，由①②可得 cosα＋sinα＝－　③，

由①③得 sinα＝，cosα＝－，所以角 α为第二象限角，所以为第一、三象限角，t

an＝＝＝3

13．已知 sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．

[解析]＝＝＝＝.

因为 sin 2θ＝，0＜2θ＜，所以 cos 2θ＝，所以 tan θ＝＝＝，

所以＝＝，即＝.

14．若 α－β＝，则 sinαsinβ的最大值为________．

[解析]α＝β＋，则 sinαsinβ＝sinsinβ＝－＝－cos＋

∴最大值为.

15．已知 sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，0<α<β<π，求 α－β的值．

[解析]因为(sinα＋sinβ)2＝2，(cosα＋cosβ)2＝2，

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