《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题57 二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)

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专题 57 二倍角的正弦、余弦、正切公式

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

记法公式

S2αsin 2α＝2sinαcosα

C2αcos 2α＝cos2α－sin2α

T2αtan 2α＝

2.余弦的二倍角公式的变形

3．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式

(1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

(2)降幂公式：sin αcos α＝sin 2α，cos2α＝，sin2α＝.

4．要牢记二倍角公式的几种变形

(1)sin2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；

(2)cos2x＝sin＝sin＝2sincos；

(3)cos2x＝sin＝sin＝2sincos.

(4)1±sin 2α＝(sinα±cosα)2.

5．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：

(1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即 sin2α＝.

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即 cos2α＝.

题型一给角求值

1．下列各式中，值为的是(　　)

A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C．2sin215° D．sin215°＋cos215°

[解析]2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；cos215°－sin215°＝cos 30°＝；2sin215°＝1－cos 30°＝1

－；

sin215°＋cos215°＝1，故选 B.

2．求下列各式的值：

(1)cos415°－sin415°；(2)1－2sin275°；(3)；(4)cos 72°cos 36°；(5)；

[解析] (1)cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos 30°

＝.

(2)1－2sin275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－.

(3)＝2×＝2×＝－2.

(4)cos 36°cos 72°＝＝＝＝.

(5) 原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.

3．求下列各式的值．

(1)sinsin＝________；(2)－cos215°＝________；(3)＝________.

[解析]　(1)∵sin＝sin＝cos，∴sinsin＝sincos＝·2sincos＝sin＝.

(2)原式＝(1－2cos215°)＝－cos30°＝－.

(3)原式＝＝2.

4．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于

[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝1＋＝.

5．sin4－cos4等于

[解析]　原式＝＝－＝－cos＝－

6．的值是

[解析]原式＝＝＝＝.

7．求下列各式的值：

(1)－；(2)＋.

[解析]　(1)－＝＝

＝＝＝4.

(2)原式＝＝＝＝＝4.

8．＝

[解析]　原式＝＝＝＝1.

9．cos20°cos40°cos80°值为 .

[解析]原式＝＝＝＝＝.

10．coscoscos 的值为

[解析]　∵cos＝－cos，cos＝－cos，

∴coscoscos＝coscoscos＝＝＝＝＝－.

11．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.

[解析]　原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝

＝＝＝＝＝＝

题型二给值求值

1．设 α是第四象限角，已知 sinα＝－，则 sin2α，cos2α和tan2α的值分别为(　　)

A．－，，－ B.，， C．－，－， D.，－，－

[解析]因为 α是第四象限角，且 sinα＝－，所以 cosα＝，

所以 sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，tan2α＝＝－.

2．已知 α是第三象限角，cosα＝－，则 sin2α等于

[解析]　∵cosα＝－，α是第三象限角，∴sinα＝－＝－(舍正)

因此，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝.

3．若 tan θ＝2则tan 2θ＝________.

[解析]tan 2θ＝＝＝－.

4．已知 sin α－cos α＝，则 sin 2α＝

[解析]∵sin α－cos α＝，∴1－2sin αcos α＝，即1－sin 2α＝，∴sin 2α＝－.

5．若＝，则 tan 2α＝

[解析]因为＝，整理得 tan α＝－3，所以 tan 2α＝＝＝.

6．设 sin 2α＝－sin α，α∈，则 tan 2α的值是________．

[解析]∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈知sin α≠0，

∴cos α＝－，∴α＝，∴tan 2α＝tan＝tan＝.

7．已知 α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则 sinα＝

[解析]∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sinα·cosα＝2cos2α.∵α∈，∴cosα>0，sinα>0，∴2sinα＝cosα，

又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝，又 sinα>0，∴sinα＝

8．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是

[解析]设底角为 θ，则θ∈，顶角为 180°－2θ.∵sin θ＝，∴cos θ＝＝，

∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.

9．已知＜α＜π，cos α＝－.

(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．

[解析] (1)因为 cos α＝－，＜α＜π，所以 sin α＝，所以 tan α＝＝－.

(2)因为 sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，

所以 sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－.

10．已知<α<π，sin α＝.

(1)求tan 2α的值；(2)求cos 的值．

[解析](1)由题意得 cos α＝－，所以 tan α＝－，所以 tan 2α＝＝＝.

(2)因为 sin α＝，所以 cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，

sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝－.

所以 cos＝cos 2α·cos ＋sin 2α·sin ＝×＋×＝－.

11．已知角 α在第一象限且 cosα＝，求的值．

[解析]∵cosα＝且 α在第一象限，∴sinα＝.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－，

sin2α＝2sinαcosα＝，∴原式＝＝＝.

12．已知 cos＝，则 sin2x＝__________.

[解析]　∵cos＝，∴sin2＝

而sin2x＝cos＝cos2－sin2＝－＝－＝－.

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