《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题56 两角和与差的正切公式(解析版)

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专题 56 两角和与差的正切公式

1．两角和与差的正切公式

名称简记公式使用条件

两角和的正

切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β

≠1

两角差的正

切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠

－1

2．两角和与差的正切公式的灵活运用

(1)正切公式的逆用

＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；＝＝tan.

(2)正切公式的变形应用

tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；

1－tanαtanβ＝； 1＋tanαtanβ＝.

tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan α·tan β＝1－.

题型一两角和与差的正切公式的正用

1．若 tanα＝3，tanβ＝，则 tan(α－β)等于

[解析]　tan(α－β)＝＝.

2．已知 tan α＝2，则 tan＝________.

[解析]tan＝＝＝－3.

3．求值：tan＝________.

[解析]tan＝－tan＝－tan＝－＝－＝－2＋.

4．已知 α∈，sinα＝，则 tan＝

[解析]　sinα＝⇒cosα＝－⇒tanα＝－.∴tan＝＝＝.

5．若 2cos α－sin α＝0，则 tan 等于

[解析]tan＝＝＝.

6．已知 tan(α－)＝，则 tan α＝________.

[解析]因为 tanα－＝，所以 tan α＝tan＝＝＝.

7．若 tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则 tan α＝

[解析] tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.

8．已知角 α，β均为锐角，且 cos α＝，tan(α－β)＝－，则 tan β＝________.

[解析]因为 cos α＝，α为锐角，所以 sin α＝，tan α＝，

所以 tan β＝tan[α－(α－

)]＝＝＝3.

9．已知 cosα＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，则 tan β＝________.

[解析]∵cosα＝>0，α∈(0，π)，∴sinα>0.∴sinα＝＝＝，

∴tanα＝＝＝.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.

10．设 sinα＝，tan(π－β)＝，则 tan(α－β)的值为

[解析]　∵sinα＝，∴tanα＝－.∵tan(π－β)＝，∴tanβ＝－.

∴tan(α－β)＝＝－.

11．若 tan(180°－α)＝－，则 tan(α＋405°)等于

[解析] ∵tan(180°－α)＝－tan α＝－，∴tan α＝，

∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7.

12．若 tan＝3，则 tan α的值为________．

[解析]tan α＝tan＝＝＝

＝＝.

13．已知 cos α＝，cos β＝，其中 α，β都是锐角，则 tan(α＋β)的值为．

[解析]因为 α，β都是锐角，所以 sin α＝＝，sin β＝＝，

tan α＝＝2，tan β＝＝，所以 tan(α＋β)＝＝－2.

14．已知点 P(1，a)在角 α的终边上，tan＝－，则实数 a的值是

[解析]∵tan＝＝＝－，∴tan α＝－2，

∵点 P(1，a)在角 α的终边上，∴tan α＝＝a，∴a＝－2.

15．已知＝3，tan(α－β)＝2，则 tan(β－2α)＝________.

[解析]由条件知＝＝3，则tan α＝2.因为 tan(α－β)＝2，所以 tan(β－α)＝－2，

故tan(β－2α)＝tan[(

－α)－α]＝＝＝.

16．已知 tan(α＋β)＝，tan＝，那么 tan 等于

[解析]tan＝tan＝＝＝.

17．如果 tanα，tanβ是方程 x2－3x－3＝0的两根，则＝________.

[解析]　＝＝＝＝－.

18．已知 tan＝，tan＝－，则 tan＝________.

[解析]tan＝tan＝＝＝.

19．在△ABC 中，若 tan A，tan B是方程 6x2－5x＋1＝0的两根，则角 C＝________.

[解析]由题意得 tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，∴tan(A＋B)＝＝＝1.

又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－1，∴C＝.

20．若 tan α，tan β是方程 x2＋5x＋6＝0的两个根，且 α，β∈，则 α＋β＝________．

[解析]由tan α，tan β是方程 x2＋5x＋6＝0的两个根得 tan α＋tan β＝－5，tan αtan β＝6，则

两根同号，

且都为负数，故 α，β∈，所以 α＋β∈(－π，0)，又 tan(α＋β)＝＝1，故 α＋β＝－.

21．已知 tanα，tanβ是方程 x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则 α＋β的值为

[解析]由一元二次方程根与系数的关系得 tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0.

∴tan(α＋β)＝＝＝.又∵－<α<，－<β<，且 tanα<0，tanβ<0，

∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.

22．已知 α为锐角，且 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则 α等于________．

[解析]　因为 tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1.

又因为 α为锐角，2α∈(0，π)．所以 2α＝π，α＝π.

23．已知 α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则 α＋β＝________.

[解析]∵tan α＝，tan β＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.

∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.

24．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，D为垂足，AD 在△ABC 的外部，且 BD∶CD∶AD＝2

∶3∶6，则 tan∠BAC＝________.

[解析]∵AD⊥BC 且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，

tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.

25．已知 tanα＝2，tanβ＝－，其中 0<α<，<β<π.求：

(1)tan(α－β)；(2)α＋β的值．

[解析] (1)因为 tanα＝2，tanβ＝－，所以 tan(α－β)＝＝＝7.

(2)因为 tan(α＋β)＝＝＝1，又因为 0<α<，<β<π，

所以<α＋β<，所以 α＋β＝.

26．已知 tan＝，tan＝2，求：

(1)tan 的值；(2)tan(α＋β)的值．

[解析] (1)tan＝tan＝＝＝－.

(2)tan(α＋β)＝tan＝＝＝2－3.

27．已知 tan＝2，tan(α－β)＝，α∈，β∈.

(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．

[解析] (1)tan＝＝2，得 tan α＝.

(2)因为 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，

又α∈，β∈，得 2α－β∈，所以 2α－β＝.

28．已知 tan＝2，tan β＝，

(1)求tan α的值；(2)求的值．

[解析] (1)∵tan＝2，∴＝2，∴＝2，解得 tan α＝.

(2)原式＝＝＝

＝tan(β－α)＝＝＝ .

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