《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题53 正切函数的性质与图象(解析版)

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专题 53 正切函数的性质与图象

知识点正切函数的图象与性质

解析式 y＝tan x

图象

定义域

值域 R

周期 π

奇偶性奇函数

对称中心，k∈Z

单调性在开区间，k∈Z内都是增函数

题型一有关正切函数的定义域、值域问题

类型一定义域

1．函数 y＝tan 的定义域为________．

[解析]因为 2x－≠kπ＋，k∈Z，所以 x≠＋，k∈Z

所以函数 y＝tan 的定义域为.

2．函数 y＝3tan 的定义域为________．

[解析]要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，

所以函数的定义域为.

3．函数 f(x)＝的定义域是____________．

[解析]若使函数 f(x)有意义，需使 tanx－1≠0，即 tanx≠1.∵tanx有意义，

∴x≠kπ＋且 x≠kπ＋，k∈Z，∴f(x)＝的定义域为.

4．函数 y＝的定义域为(　　)

A.，k∈Z B．{x|x≠kπ－，k∈Z}

C.，k∈Z D.，k∈Z

[解析]若使函数 y＝有意义，需使 tanx－1>0，即 tanx>1.

结合正切曲线，可得 kπ＋<x<kπ＋(k∈Z)．所以函数 y＝的定义域是(k∈Z)．

5．函数 y＝lg(－tan x)的定义域为________．

[解析]因为－tan x＞0，所以 tan x＜.又因为 tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，

根据正切函数图象，得 kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)．

6．函数 y＝logtan 的定义域是(　　)

A. B.

C. D.

[解析]由题意 tan＞0，即tan＜0，∴kπ－＜x－＜kπ，∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，故选 B.

7．函数 y＝＋lg(1－tan x)的定义域为________．

[解析]要使函数 y＝＋lg(1－tan x)有意义，则即－1≤tan x<1.

在上满足上述不等式的 x的取值范围是.

又因为 y＝tan x的周期为 π，所以所求 x的定义域为.

8．函数 y＝＋的定义域为________．

[解析]由题意得，所以 2kπ－＜x≤2kπ，k∈Z，

所以函数 y＝＋的定义域为.

9．已知函数 f(x)＝tan

(1)求f(x)的定义域；

(2)设β∈(0，π)，且 f(β)＝2cos，求 β的值．

[解析] (1)由x＋≠kπ＋，k∈Z得x≠kπ＋，k∈Z.

所以函数 f(x)的定义域是.

(2)依题意；得 tan＝2cos，所以＝2sin，

整理得 sin＝0，所以 sin＝0或cos＝.

因为 β∈(0，π)，所以 β＋∈，由sin＝0得β＋＝π，β＝，

由cos＝得 β＋＝，β＝，所以 β＝或 β＝.

类型二值域

1．函数 y＝tanx的值域是________．

[解析]因为 y＝tanx在，上都是增函数，所以 y≥tan＝1或y≤tan＝－1.

2．求函数 y＝tan(π－x)，x∈的值域为________．

[解析]y＝tan(π－x)＝－tan x，在上为减函数，所以值域为(－，1)．

3．函数 y＝tan，x∈的值域是________．

[解析]因为 x∈，所以＋∈，所以 tan∈(1，)．

4．函数 y＝的值域是(　　)

A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)

[解析]当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴≤－1；

当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴≥1.

即当 x∈∪时，函数 y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

5．求函数 y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．

[解析]由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为.

设t＝tan，则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，所以原函数的值域是.

6．函数 y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．

[解析]∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.令tan x＝t，则t∈[－1,1]．

∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，

当t＝1，即x＝时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．

7．已知 f(x)＝tan2x－2tanx，求 f(x)的值域．

[解析]令tanx＝t，由|x|≤，则 t∈[－，]．即有 y＝t2－2t＝(t－1)2－1，

则y在[－，1]上单调递减，在[1，]上单调递增．

∴y的最大值为 3＋2，最小值为－1.∴f(x)的值域为[－1,3＋2]．

8．函数 y＝tan(cos x)的值域是(　　)

A. B.

C．[－tan 1，tan 1]D．以上都不对

[解析]cos x∈[－1,1]，y＝tan x在[－1,1]上是增函数，所以 y＝tan(cos x)的值域是[－tan 1，t

an 1]．

9．方程 tan＝在[0,2π)上的解的个数是(　　)

A．5 B．4

C．3 D．2

[解析]由题意知，2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以 x＝，k∈Z，又 x∈[0,2π)．

所以 x＝0，，π，，共 4个．故选 B.

题型二正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性

类型一奇偶性

1．判断下列函数的奇偶性：

①y＝3xtan 2x－2x4；② y＝cos＋tan x.

[解析]①定义域为，关于原点对称，

又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．

②定义域为，关于原点对称，

y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x，

又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函数．

2．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tan＋tan.

[解析] (1)由得 f(x)的定义域为，

不关于原点对称，所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．

(2)函数定义域为，关于原点对称，

又f(－x)＝tan＋tan＝－tan－tan＝－f(x)，所以函数 f(x)是奇函数．

3．函数 y＝|x|tan 2x是(　　)

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数

[解析]易知 2x≠kπ＋，即x≠＋，k∈Z，定义域关于原点对称．

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