《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题52 正、余弦函数的单调性与最值专题(解析版)

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专题 52 正、余弦函数的单调性与最值

一．正弦函数、余弦函数的图象和性质

正弦函数余弦函数

图象

值域 [－1，1] [－1，1]

单

调

性

增区

间，k∈Z，k∈Z

减区

间，k∈Z

[2kπ，π＋2kπ]，

k∈Z

最

值

ymax＝1x＝＋2kπ，k∈Zx＝2kπ，k∈Z

ymin＝－1x＝－＋2kπ，k∈Zx＝π＋2kπ，k∈Z

二．三角函数最值问题的求解方法

(1)形如 y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对 a正负的

讨论．

(2)形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得 ωx＋φ的范围，

然后求得 sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．

(3)形如 y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设 t＝sin x，转化为二次函数 y＝at2

＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．　

题型一正弦函数、余弦函数的单调性

类型一求单调区间

1．已知函数 f(x)＝sin＋1，求函数 f(x)的单调递增区间．

[解析]令 u＝＋2x，函数 y＝sin u的单调递增区间为，k∈Z，

由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以函数 f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.

2．已知函数 y＝cos，则它的单调减区间为________．

[解析]y＝cos＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是(k∈Z)．

3．函数 y＝1－sin 2x的单调递增区间．

[解析]求函数 y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数 y＝sin 2x的单调递减区间，

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

即函数的单调递增区间是(k∈Z)．

4．求函数 y＝3sin 的单调递减区间．

[解析]∵y＝3sin＝－3sin，∴y＝3sin 是增函数时，y＝3sin 是减函数．

∵函数 y＝sinx在(k∈Z)上是增函数，∴－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．∴函数 y＝3sin 的单调递减区间为(k∈Z).

5．求下列函数的单调区间．

(1)y＝cos2x；(2)y＝2sin；(3) y＝cos

[解析] (1)函数 y＝cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：

2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.

∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴函数 y＝cos2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.

(2)y＝2sin＝－2sin，

函数 y＝－2sin 的单调递增、递减区间分别是函数 y＝2sin 的单调递减、递增区间．

令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，

即函数 y＝2sin 的单调递增区间为，k∈Z.

令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.

即函数 y＝2sin 的单调递减区间为，k∈Z.

(3) 当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，

故函数的单调递增区间是，k∈Z.

当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，

函数单调递减，故函数的单调递减区间是，k∈Z.

6．函数 y＝sin，x∈的单调递减区间为________．

[解析]由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)．

又x∈，所以函数 y＝sin，

x∈的单调递减区间为，　

7．函数 y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)

A. B.

C. D.

[解析]解法一：y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，

则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于 x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.

解法二：函数在取得最大值，且其最小正周期为 2π，则其单调递增区间为，

即，又因为 x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.

8．求函数 y＝的单调增区间．

[解析]设x＋＝u，y＝|sin u|的大致图象如图所示，函数的周期是 π.

当u∈(k∈Z)时，函数 y＝|sin u|递增．

函数 y＝的单调递增区间是(k∈Z)．

9．函数 f(x)＝sin 的一个递减区间是(　　)

A. B．[－π，0]

C. D.

[解析]∵2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.

令k＝0得≤x≤.又∵⊆

∴函数 f(x)＝sin 的一个递减区间为.故选 D.

10．函数 y＝sin 在区间[0，π]的一个单调递减区间是(　　)

A. B.

C. D.

[解析]由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

取k＝0，则一个单调递减区间为.

11．求下列函数的单调递增区间．

(1)y＝sin，x∈[0，π]；(2)y＝logsin x.

[解析] (1)由y＝－sin 的单调性，得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，

即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，故≤x≤π.即单调递增区间为 .

(2)由sin x＞0，得2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，

∴函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．设u＝sin x，则0＜u≤1，又y＝logu是减函数，

∴函数的值域为(0，＋∞)．∵＜1，∴函数 y＝logsin x的递增区间

即为 u＝sin x(sin x＞0)的递减区间，

故函数 y＝logsin x的递增区间为 2kπ＋，2kπ＋π(k∈Z)．

12．函数 y＝log2的单调递增区间是________．

[解析]由题意，得 sin>0，所以 2kπ<x＋<π＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.

令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z可得 y＝sin 的单调递增区间为，k∈Z，

所以函数 y＝log2的单调递增区间为，k∈Z.

13．求下列函数的单调递增区间(3)y＝logsin；

[解析]由对数函数的定义域和复合函数的单调性，

可知解得 2kπ＋≤2x＋<2kπ＋π(k∈Z)，

即kπ＋≤x<kπ＋(k∈Z)，故所求单调递增区间为(k∈Z)．

14．函数 f(x)＝|cos x|在[－π，π]上的单调递减区间为(　　)

A. B.

C.及 D.∪

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