《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题51 正、余弦函数的周期性与奇偶性(原卷版)

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专题 51 正、余弦函数的周期性与奇偶性

知识点一　函数的周期性

(1)一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，

都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的

最小正周期．

(3)记f(x)＝sinx，则由 sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常

数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k

π(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为 2π.

2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数 y＝sin x y＝cos x

周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)

最小正周期 2π 2π

奇偶性奇函数偶函数

求三角函数周期的方法：

(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函

数，T＝.

(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．

提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期 T＝.

2．与三角函数奇偶性有关的结论

(1)要使 y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；

(2)要使 y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

(3)要使 y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

(4)要使 y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．

题型一三角函数的周期问题及简单应用

1．下列函数中，周期为的是(　　)

A．y＝sinx B．y＝sin2x C．y＝cos D．y＝cos4x

2．利用周期函数的定义求下列函数的周期．

(1)y＝cos 2x，x∈R；(2)y＝sin，x∈R.

3．求下列函数的最小正周期．

(1)y＝sin；(2)f(x)＝2sin；(3)f(x)＝cos；(4)f(x)＝|sinx|.

4．求下列函数的周期．

(1)y＝3sin；(2)y＝|cosx|；(3)y＝3cos；(4)y＝sin.

5．函数 y＝|cos x|－1的最小正周期为

6．函数 y＝的最小正周期是

7．如图所示的是定义在 R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　)

8．设 a＞0，若函数 y＝sin(ax＋π)的最小正周期是 π，则 a＝________．

9．函数 f(x)＝sin 的最小正周期为，其中 ω＞0，则 ω等于

10．若函数 f(x)＝2cos 的最小正周期为 T，且 T∈(1,4)，则正整数 ω的最大值为________．

11．函数 y＝cos(k>0)的最小正周期不大于 2，则正整数 k的最小值应是________．

12．函数 y＝cos(sinx)的最小正周期是

13．函数 y＝＋2的最小正周期是________．

14．若函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期为，且满足 f(x)＝则 f＝________.

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