《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题51 正、余弦函数的周期性与奇偶性(解析版)

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专题 51 正、余弦函数的周期性与奇偶性

知识点一　函数的周期性

(1)一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，

都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的

最小正周期．

(3)记f(x)＝sinx，则由 sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常

数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k

π(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为 2π.

2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数 y＝sin x y＝cos x

周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)

最小正周期 2π 2π

奇偶性奇函数偶函数

求三角函数周期的方法：

(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函

数，T＝.

(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．

提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期 T＝.

2．与三角函数奇偶性有关的结论

(1)要使 y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；

(2)要使 y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

(3)要使 y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

(4)要使 y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．

题型一三角函数的周期问题及简单应用

1．下列函数中，周期为的是(　　)

A．y＝sinx B．y＝sin2x C．y＝cos D．y＝cos4x

[解析]∵T＝＝，∴|ω|＝4，而 ω>0，∴ω＝4

2．利用周期函数的定义求下列函数的周期．

(1)y＝cos 2x，x∈R；(2)y＝sin，x∈R.

[解析] (1)因为 cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期

为π.

(2)因为 sin＝sin＝sin，

由周期函数的定义知，y＝sin 的周期为 6π.

3．求下列函数的最小正周期．

(1)y＝sin；(2)f(x)＝2sin；(3)f(x)＝cos；(4)f(x)＝|sinx|.

[解析] (1)∵sin＝sin，∴sin＝sin，∴y＝sin 的周期是 π.

(2)解法一：∵2sin＝2sin＝2sin，∴f(x＋4π)＝f(x)，

∴f(x)＝2sin 的周期是 4π.

解法二：∵ω＝，∴T＝＝4π.

(3)f(x)＝cos＝cos.

∵cos＝cos＝cos，∴f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.

(4)f(x)＝|sinx|的图象如图所示．

∴周期 T＝π.

4．求下列函数的周期．

(1)y＝3sin；(2)y＝|cosx|；(3)y＝3cos；(4)y＝sin.

[解析] (1)解法一：y＝3sin＝3sin＝3sin，

令y＝f(x)，则 f(x＋4)＝f(x)，∴y＝3sin 的周期为 4.

解法二：ω＝，∴T＝＝＝4.

(2)y＝|cosx|的图象如下图所示．

∴周期 T＝π.

(3)解法一：y＝3cos＝3cos.

∵3cos＝3cos＝3cos，

令y＝f(x)，则 f＝f(x)，∴y＝3cos 的周期为.

解法二：∵|ω|＝3，∴T＝＝.

(4)解法一：y＝sin＝sin＝sin，令 y＝f(x)，则 f(x＋π)＝f(x)，

∴y＝sin 的周期为 π.

解法二：∵ω＝2，∴T＝＝＝π.

5．函数 y＝|cos x|－1的最小正周期为

(略)知其最小正周期为 π，所以 y＝|cos x|－1的最小正周期也为 π.

6．函数 y＝的最小正周期是

[解析]∵y＝sin 的周期为 4π，∴y＝的周期为 2π

7．如图所示的是定义在 R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　)

[解析]观察图象易知，只有 D选项中的图象不是周期函数的图象．

8．设 a＞0，若函数 y＝sin(ax＋π)的最小正周期是 π，则 a＝________．

[解析]由题意知 T＝＝π，所以 a＝2.

9．函数 f(x)＝sin 的最小正周期为，其中 ω＞0，则 ω等于

[解析] 由已知得＝，又ω＞0，所以＝，ω＝10.

10．若函数 f(x)＝2cos 的最小正周期为 T，且 T∈(1,4)，则正整数 ω的最大值为________．

[解析]T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π，∴ω的最大值是 6.

11．函数 y＝cos(k>0)的最小正周期不大于 2，则正整数 k的最小值应是________．

[解析]　由题意得＝≤2，∴k≥4π.∴正整数 k的最小值为 4π.

12．函数 y＝cos(sinx)的最小正周期是

[解析]　∵y＝cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)，∴函数 y＝cos(sinx)的最小正周期为 π.

13．函数 y＝＋2的最小正周期是________．

[解析]∵函数 y＝sin2x的最小正周期 T＝π，∴函数 y＝＋2的最小正周期为.

14．若函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期为，且满足 f(x)＝则 f＝________.

[解析]∵T＝，∴f＝f＝f＝sin＝.

15．设函数 f(x)＝3sin，ω＞0，x∈R，且以为最小正周期．若 f＝，则 sin α的值为_____．

[解析]因为 f(x)的最小正周期为，ω＞0，所以 ω＝＝4.所以 f(x)＝3sin.

因为 f＝3sin＝3cos α＝，所以 cos α＝.所以 sin α＝±＝±.

16．已知 f(n)＝sin(n∈Z)，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.

[解析]f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，

f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.

17．设函数 f(x)＝sinx，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝

[解析]∵f(x)＝sinx的周期 T＝＝6，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)＋

f(2 019)

＝336sin＋sinπ＋sin π＋sinπ＋sinπ＋sin 2π＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＋f(336×6＋3)

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