《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题49 诱导公式五和公式六(解析版)

3.0 cande 2025-05-11 14 4 99.93KB 8 页 3知币
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专题 49 诱导公式五和公式六
1．公式五
(1)角－α与角 α的终边关于直线 y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sin＝cosα，cos＝sinα.
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.
(2)公式：sin＝cosα，cos＝－sinα.
3．诱导公式一～六中的角可归纳为 k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符
号看象限”．
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
②“奇”“偶”是对诱导公式 k·±α中的整数 k来讲的．
③“象限”指 k·±α中，将 α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，
三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
4．利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：
sin＝－cosα，cos＝－sinα，sin＝－cosα，cos＝sinα.
题型一 利用诱导公式化简与求值
1．下列与 sin θ的值相等的是(　　)
A．sin(π＋θ)　　　　 B．sin C．cos D．cos
[解析]sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；cos＝sin θ；cos＝－sin θ.
2．化简 sin＝________.
[解析]sin＝sin＝－sin＝－cos α.
3．下列各式中，不正确的是(　　)
A．sin(180°－α)＝sinα B．cos＝sin C．cos＝－sinα D．tan(－α)＝－tanα
[解析]由诱导公式知 A、D正确．
cos＝cos＝－cos＝－sinα，故 C正确．
cos＝cos＝－sin，故 B不正确．
4．若 sin<0，且 cos>0，则 θ是(　　)
A．第一象限角　　 B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
[解析]由于 sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角 θ的终边落在第二象限，故选 B.
5．化简 sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝________.
[解析]原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α)＝－sin2α－cos2α＝－1.
6．化简：－.
[解析]原式＝－＝sin α－(－sin α)＝2sin α.
7．化简：＝(　　)
A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ
[解析]原式＝＝＝－sin θ.
8．化简：＝________.
[解析]原式＝＝＝tanα
9．化简：·sincos.
[解析]原式＝·sin(－sinα)＝·(－sinα)
＝·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.
10．等于(　　)
A．－cosα B．cosα C．sinα D．－sinα
[解析]原式＝＝＝－cosα.故选 A.
11．化简：＋.
[解析]因为 sin＝cos α，cos＝sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，　
所以原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.
12．已知 sin＝，那么 cosα＝
[解析]sin＝sin＝sin＝cosα＝.
13．已知 cosθ＝－，则 sin＝________.
[解析]sin＝cosθ＝－.
14．已知 cos＝，且|φ|＜，则 tan φ＝________.
[解析]cos＝－sin φ＝，sin φ＝－，又∵|φ|＜，∴cos φ＝，故tan φ＝－.
15．如果 cos(π＋A)＝－，那么 sin＝
[解析]∵cos(π＋A)＝－cosA＝－，∴cosA＝，∴sin＝cosA＝
16．已知 cos＝－，且 α是第二象限角，则 sin 的结果是
[解析]∵cos＝－sinα＝－,∴sinα＝，且 α是第二象限角,
∴cosα＝－＝－.而sin＝－sin＝－(－cosα)＝cosα＝－
17．若 cos(α＋π)＝－，则 sin(－α－)＝
[解析]因为 cos(α＋π)＝－cos α＝－，所以 cos α＝.所以 sin＝cos α＝.
18．已知 cos α＝，且 α为第四象限角，那么 cos＝________.
[解析]因为 cos α＝，且α为第四象限角，所以 sin α＝－＝－，
所以 cos＝－sin α＝.
19．若 sin(3π＋α)＝－，则 cos 等于
[解析]∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
∴cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－.
20．已知 cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求 cos 的值．
[解析]因为 cos(π＋α)＝－cos α＝－，所以 cos α＝，又 α为第一象限角．
则cos＝－sin α＝－＝－ ＝－.
21．已知 α∈，cos＝，则 tan(2018π－α)＝
[解析]由 cos＝得 sin α＝－，
又0<α<，所以 π<α<，所以 cos α＝－＝－，tan α＝.
因为 tan(2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－
22．已知 sin＝，则 cos 的值为
[解析]∵cos＝cos＝sin＝.
23．已知 sin＝，则 cos 等于
[解析]cos＝cos＝－sin＝－.
24．已知 sin＝，则 cos 的值为________．
[解析]cos＝cos＝sin＝.
25．已知 sin＝，则 cos 的值为________．
[解析]cos＝cos＝－sin＝－.
26．若 sin＝，则 cos＝________.
[解析]cos＝cos＝－sin＝－.
27．已知 α是第四象限角，且 cos(5°＋α)＝，则 cos(α－85°)＝________.
[解析]因为 α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝＞0，所以 5°＋α是第四象限角，
所以 sin(5°＋α)＝－＝－，
所以 cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°)＝sin(5°＋α)＝－.
28．已知 sin 10°＝k，则 cos 620°的值为(　　)
A．k B．－k
C．±k D．不确定
[解析]cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k.
29．已知 cosα＝，则 sin·costan(π－α)＝________.
[解析]sincostan(π－α)＝－cosαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cos2α＝1－2＝.
30．已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是(　　)
A.　　 B. C．－ D．－
[解析]sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝.
31．若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则 cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是
[解析]由 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sin α－sin α＝－a，即sin α＝，
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