《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题48 诱导公式二、三、四(解析版)

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专题 48 诱导公式二、三、四
1．诱导公式二
(1)角π＋α与角 α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα；cos(π＋α)＝－cosα；tan(π＋α)＝tanα.
2．诱导公式三
(1)角－α与角 α的终边关于 x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sinα；cos(－α)＝cosα；tan(－α)＝－tanα.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角 α的终边关于 y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sinα；cos(π－α)＝－cosα；tan(π－α)＝－tanα.
4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于 α的同名函数值，前面加上
一个把 α看成锐角时原函数值的符号．
5．四组诱导公式的记忆
四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”． “口诀”的正确理解：
“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；
“看象限”是指假设 α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是
负值，如 sin(π＋α)，若 α看成锐角，则 π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故 sin
(π＋α)＝－sin α.
6．四组诱导公式的作用
公式一的作用：把不在 0～2π 范围内的角化为 0～2π 范围内的角；
公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；
公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；
公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.
题型一 给角求值问题
1．求下列各三角函数值：
(1)sin 1320°；(2)cos；(3)tan(－945°)；(4) tan ；(5) (5)sin ；(6) cos
[解析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一：cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
法二：cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan
45°＝－1.
(4)tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.
(5)sin＝sin＝sin＝.
(6)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
2．求下列三角函数值：
(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos.
[解析] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝
－sin60°＝－.
(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.
(3)cos＝cos＝cos＝cos＝.
3．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
(3)tan＋tan＋tan＋tan；
(4)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.
(5)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
[解析](1)原式＝＋＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0.
(3)原式＝tan＋tan＋tan＋tan＝tan＋tan－tan－tan＝0.
(4)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－－cos45°－tan45°
＝－－－1＝－.
(5)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)
＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝×＋×＝1.
4．利用公式求下列三角函数值：
(1)cos π；(2)tan(－855°)；(3)sin(－945°)＋cos(－π)；(4)tan π＋sin π.
[解析] (1)cos π＝cos(π＋6π)＝cosπ＝cos(2π－)＝cos＝.
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)
＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.
(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos＝sin(－225°)＋cos
＝－sin(180°＋45°)＋cos＝sin 45°－cos＝－＝.
(4)原式＝tan(π－)＋sin(2π－)＝－tan －sin ＝－1－＝－.
5．求下列各三角函数值：
(1)cos；(2)tan(－765°)；(3)sin ·cos ·tan .
[解析] (1)cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
(2)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°)＝－tan 45°＝－1.
(3)sin ·cos ·tan ＝sincos·tan＝－sin cos tan ＝－××1＝－.
6．求下列各式的值：
(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；
(2)sincos＋tan.
[解析] (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)
＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝×＋×－1＝0.
(2)原式＝sincos＋tan＝sincos＋tan
＝sin·＋tan＝×＋1＝.
7．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°.
[解析]原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×3
60°)]＋tan(135°＋2×360°)＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°
＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°)　
＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45°＝×＋×－1＝0.
8．的值等于________．
[解析]原式＝＝
＝＝＝－2.
9．sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cos2225°的值是
[解析]因为 sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝，sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝，
sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－，
所以原式＝2＋2＋2×＋2＝＋－1＋＝.
10．已知 600°角的终边上有一点 P(a，－3)，则 a的值为
[解析]由题意得 tan 600°＝－，
又因为 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，
所以－＝，所以 a＝－.
11．设 sin 160°＝a，则 cos 340°的值是(　　)
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