《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题47 同角三角函数的基本关系(解析版)

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专题 47 同角三角函数的基本关系

1．平方关系

(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.

(2)语言叙述：同一个角 α的正弦、余弦的平方和等于 1.

2．商数关系

(1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．

(2)语言叙述：同一个角 α的正弦、余弦的商等于角 α的正切．

3．同角三角函数的基本关系式的变形形式

(1)平方关系变形：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

(2)商的变形：sinα＝tanαcosα，cosα＝.

题型一直接应用同角三角函数关系求值

1．若 cos α＝，且 α为第四象限角，则 tan α＝________.

[解析]因为 α为第四象限角，且cos α＝，

所以 sin α＝－＝－＝－，所以 tan α＝＝－.

2．已知 α是第四象限角，cosα＝，则 sinα等于

[解析]　∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin2θ＝1－cos2θ＝1－＝，

又∵α是第四象限角，∴sinα<0，即 sinθ＝－.

3．已知 α∈，tan α＝2，则 cos α＝________.

[解析]由已知得

由①得 sin α＝2cos α代入②得 4cos2α＋cos2α＝1，

所以 cos2α＝，又α∈，所以 cos α＜0，所以 cos α＝－.

4．已知 α是第二象限角，tan α＝－，则 cos α＝________.

[解析]因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，又因为 α是第二象限角，

所以 cos α＜0，所以 cos α＝－.

5．若 α是第四象限角，tanα＝－，则 sinα等于

[解析]　因为 α是第四象限角，tanα＝－，所以＝－.

又sin2α＋cos2α＝1.所以 sinα＝－.

6．已知 α是第二象限角，且 cos α＝－，则 tan α的值是

[解析]因为 α为第二象限角，所以 sin α＝＝＝，

所以 tan α＝＝＝－.

7．已知 α是第二象限角，且 tan α＝－，则 cos α＝________.

[解析]因为 α是第二象限角，故 sin α＞0，cos α＜0，又 tan α＝－，

所以＝－，又 sin2α＋cos2α＝1，解得 cos α＝－.

8．已知 sin α＝－，且 α∈，则 tan α＝

[解析]由 α∈，得 cos α<0，又 sin α＝－，所以 cos α＝－＝－，

所以 tan α＝＝.

9．已知 cosα＝－，求 sinα和tanα.

[解析] sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，因为 cosα＝－<0，所以 α是第二或第三象限角，

当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－；

当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝.

10．已知 cos α＝－，求 sin α，tan α的值．

[解析]　∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限的角．

如果 α是第二象限角，那么 sin α＝＝＝，tan α＝＝＝－.

如果 α是第三象限角，同理可得 sin α＝－＝－，tan α＝.

11．已知 sinα＝，并且 α是第二象限角，求 cosα和tanα.

[解析]cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又 α是第二象限角，

所以 cosα<0，cosα＝－，tanα＝＝－.

12．若 cosα＝，则 tanαsinα＝(　　)

[解析]　由 cosα＝得|sinα|＝，所以 tanαsinα＝＝×＝.

13．已知 sinθ＝，且 sinθ－cosθ>1，则 tanθ等于________．

[解析]因为 sinθ－cosθ>1，所以 cosθ<0，所以 cosθ＝－＝－，所以 tanθ＝＝－.

14．已知 sin θ＝，cos θ＝，则 m的值为________．

[解析]因为 sin2θ＋cos2θ＝1，所以 2＋2＝1.整理得 m2－8m＝0，解得 m＝0或8.

15．已知 sin α＋3cos α＝0，求 sin α，cos α的值．

[解析]∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，

即10cos2α＝1，∴cos α＝±.又由 sin α＝－3cos α，可知 sin α与cos α异号，

∴角 α的终边在第二或第四象限．

当角 α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；

当角 α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.

16．已知 α是第三象限角，且 sin α＝－，则 3cos α＋4tan α＝

[解析]因为 α是第三象限角，且sin α＝－，

所以 cos α＝－＝－＝－，所以 tan α＝＝＝，

所以 3cos α＋4tan α＝－2＋＝－.

17．若 sinA＝，且 A是三角形的一个内角，则＝________.

[解析]∵sinA＝>0，∴A为锐角或钝角．

当A为锐角时，cosA＝＝，∴原式＝6.

当A为钝角时，cosA＝－＝－，∴原式＝＝－.

18．在△ABC 中，sin A＝，则角 A＝

[解析]由题意知 cos A＞0，即A为锐角．将sin A＝两边平方得 2sin2A＝3cos A，

∴2cos2A＋3cos A－2＝0，解得 cos A＝或 cos A＝－2(舍去)．∴A＝.

19．已知 sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则 tan x＝

[解析]∵sin x＋cos x＝，且 x∈(0，π)，∴1＋2sin xcos x＝1－，∴2sin xcos x＝－<0，∴x为钝

角，∴sin x－cos x＝＝，结合已知解得 sin x＝，cos x＝－，则 tan x＝＝－.

20．若＝3，则 cosα－2sinα等于

[解析]　若＝3，则 1＋cosα＝3sinα，又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sinα＝，cosα＝3sinα－1＝，

所以 cosα－2sinα＝－.

21．已知 cos＝，0<α<，则 sin＝________.

[解析]∵0<α<，∴<α＋<，∴sin>0，∴sin＝＝.

题型二灵活应用同角三角函数关系式求值(齐次式)

1．已知＝2，计算下列各式的值．

①；②；③sin2α－2sin αcos α＋1; sin④2α＋cos2α.

[解析]　由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以 tan α＝3.

①法一(换元)原式＝＝＝.

法二(弦化切)原式＝＝＝.

②原式＝＝＝－.

③原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.

④原式＝＝＝＝.

2．已知＝－1，求下列各式的值：

(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.

[解析]因为＝－1，所以 tanα＝.

(1)原式＝＝－.

(2)原式＝＋2＝＋2＝＋2＝.

3．已知 tan α＝－，则的值是

[解析]因为 tan α＝－，所以＝＝＝.

4．若＝1，则 tanα的值为________．

[解析]＝1化为＝1，所以 2tanα＋1＝3tanα－2，所以 tanα＝3.

5．已知＝－5，那么 tan α＝________．

[解析]易知 cos α≠0，由＝－5，得＝－5，解得 tan α＝－.

6．已知＝，则 tan α＝____________．

[解析]由＝，得＝，解之得 tan α＝－.

7．已知＝2，则＝________．

[解析]由＝2，化简得 sin α＝3cos α，所以 tan α＝3.原式＝＝.

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