《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题46 三角函数的概念(解析版)

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专题 46 三角函数的概念

1．单位圆

在直角坐标系中，我们称以原点 O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．

2．任意角的三角函数的定义

(1)条件

在平面直角坐标系中，设 α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么：

(2)结论

①正弦：点 P的纵坐标 y叫做 α的正弦，记作 sinα，即 y＝sinα；

②余弦：点 P的横坐标 x叫做 α的余弦，记作 cosα，即 x＝cosα；

③正切：把点 P的纵坐标与横坐标的比值叫做 α的正切，记作 tanα，即 tanα＝(x≠0)

(3)三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函

数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为

正弦函数 y＝sinx(x∈R)；余弦函数 y＝cosx(x∈R)；正切函数 y＝tanx

3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域

三角函数定义域

sin αR

cos αR

tan α

4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，

二四象限负．

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

5．诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：

sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中 k∈Z.

即终边相同的角的同一三角函数值相等．

题型一任意角的三角函数的定义及其应用

1．若角 α的终边经过点 P(5，－12)，则 sinα＝________，cosα＝________，tanα＝_______

[解析]∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，

则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.

2．已知角 α终边过点 P(1，－1)，则 tan α的值为

[解析]由三角函数定义知 tan α＝＝－1.

3．已知角 α的终边经过点 P(1，－1)，则 sinα的值为

[解析]　∵α的终边经过点 P(1，－1)，∴sinα＝＝－.

4．已知角 α的终边经过点(－4,3)，则 cosα＝

[解析]　∵x＝－4，y＝3，∴r＝＝5，∴cosα＝＝＝－

5．已知角 α的顶点在原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边过点，则 tanα的值为

[解析]　由正切函数的定义可得，tanα＝＝－.

6．角 α终边与单位圆相交于点 M，则 cos α＋sin α的值为________．

[解析]cos α＝x＝，sin α＝y＝，故cos α＋sin α＝.

7．若角 α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则 sinα的值等于

[解析]　∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cos30°＝－，∴r＝＝2，∴sinα＝＝－

8．在平面直角坐标系中，以 x轴的非负半轴为角的始边，如果角 α，β的终边分别与单位

圆交于点和，那么 sin α·tan β＝________.

[解析]由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝，tan β＝＝－，

所以 sin α·tan β＝×＝－.

9．已知角 α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中 θ∈，则 cos α＝________.

[解析]因为 θ∈，所以 cos θ＜0，r＝＝5|cos θ|＝－5cos θ，

所以 cos α＝＝.

10．在平面直角坐标系 xOy 中，角 α与角 β均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x轴对称，若

sin α＝，

则sin β＝________.

[解析]设角 α的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，则角 β的终边与单位圆相交于点 Q(x，－y)，

由题意知 y＝sin α＝，所以 sin β＝－y＝－.

11．设 a<0，角 α的终边经过点 P(－3a,4a)，则 sinα＋2cosα的值等于________．

[解析]∵a<0，角 α的终边经过点 P(－3a,4a)，∴点 P与原点的距离 r＝－5a，sinα＝－，cos

α＝，

∴sinα＋2cosα＝.

12．已知角 α的终边经过点 P(－4a,3a)(a≠0)，求 sinα，cosα，tanα的值．

[解析]r＝＝5|a|，

若a>0，则 r＝5a，角 α在第二象限，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－；

若a<0，则 r＝－5a，角 α在第四象限，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.

13．已知角 α的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α的值．

[解析]设射线 y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为 P(x，y)，

则解得即 P，所以 sin α＝y＝，cos α＝x＝.

14．若角 α的终边在直线 y＝－2x上，则 sin α等于

[解析]在α的终边上任取一点 P(－1,2)，则 r＝＝，所以 sin α＝＝＝.

或者取 P′(1，－2)，则 r＝＝，所以 sin α＝＝－＝－.

15．已知角 α的终边落在直线 x＋y＝0上，求 sin α，cos α，tan α的值．

[解析]直线 x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，

在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，

所以 sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；

在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，

所以 sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.

16．已知角 α的终边经过 P(－b，4)，且 cos α＝－，则 b的值为

[解析]由x＝－b，y＝4，得 r＝，所以 cos α＝＝－，解得 b＝3(b＝－3舍去)．

17．若角 α的终边经过 P(－3，b)，且 cosα＝－，则 b＝________，sinα＝________.

[解析]∵cosα＝，∴＝－，∴b＝4或b＝－4.

当b＝4时，sinα＝＝，当 b＝－4时，sinα＝＝－.

18．若 cos α＝－，且角 α的终边经过点 P(x，2)，则 P点的横坐标 x是

[解析]r＝，由题意得＝－，所以 x＝－2.

19．已知角 α的终边经过点 P(x，－6)且cos α＝－，则 x＝________.

[解析]因为|OP|＝＝，所以 cos α＝，又cos α＝－，

所以＝－，整理得 x＝－8.

20．已知角 α终边上的点 P(4,3m)，且 sinα＝m，求 m的值．

[解析]∵P(4,3m)，∴r＝，∴sinα＝＝＝m，

两边平方，得＝m2.∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0或m＝±.

21．已知角 α的终边过点 P(5，a)，且 tan α＝－，则 sin α＋cos α的值为________．

[解析]根据三角函数的定义，tan α＝＝－，∴a＝－12，∴P(5，－12)．

这时 r＝13，∴sin α＝－，cos α＝，从而 sin α＋cos α＝－.

22．已知角 α的终边与单位圆的交点为(y<0)，则 sinαtanα＝________.

[解析]∵α的终边与单位圆的交点为，∴2＋y2＝1，即 y2＝.

又∵y<0，∴y＝－.∴sinα＝－，tanα＝，sinαtanα＝－×＝－.

23．已知角 α的终边经过点 P(3，－4t)，且 sin(2kπ＋α)＝－，其中 k∈Z，则 t的值为_____

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