《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题44 任意角(解析版)

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专题 44 任意角
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，
(1)始边：射线的起始位置 OA，(2)终边：射线的终止位置 OB，(3)顶点：射线的端点 O.
这时，图中的角 α可记为“角 α”或“∠α”或简记为“α”．
3．角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
名称 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成
的角
4．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重
合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，
就认为这个角不属于任何一个象限．
象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为 0°～360°之间的角的终边与坐标系中
过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到 0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在 0°～360°范围内没有两个角终边是
相同的．
(3)nα 所在象限的判断方法：确定 nα 终边所在的象限，先求出 nα 的范围，再直接转化为终
边相同的角即可．
(4)所在象限的判断方法：已知角 α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：
①用不等式表示出角的范围，然后对 k的取值分情况讨论：被 n整除；被 n除余 1；被 n除
余2；…；被 n除余 n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的 n等分射线，它们与坐标轴把周角分成 4n个区域．从 x轴
非负半轴起，按逆时针方向把这 4n个区域依次循环标上 1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标
号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象
限直观地看出．
5．终边相同的角
所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角 α终边相同的角，都可以表示成角 α与整数个周角的和．
所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内可以用式子 k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注
意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如 k·360°－30°应看成 k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相
差周角的整数倍．
(5)终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差 360°的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差 180°的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍．　
提示：(1)关于 x轴对称：若角 α与β的终边关于 x轴对称，则角 α与β的关系是 β＝－α＋k·
360°，k∈Z.
(2)关于 y轴对称：若角 α与β的终边关于 y轴对称，则角 α与β的关系是 β＝180°－α＋k·36
0°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角 α与β的终边关于原点对称，则角 α与β的关系是 β＝180°＋α＋k·3
60°，k∈Z.
(4)关于直线 y＝x对称：若角 α与β的终边关于直线 y＝x对称，则角 α与β的关系是 β＝－
α＋90°＋k·360°，k∈Z.
题型一 角的有关概念的判断
1．下列说法正确的是(　　)
A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角 D．小于 90°的角都是锐角
[解析]因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故 A项错误；钝角一定是第二象限角，
故B项正确；
因－280°是第一象限角，但此角为负角，故 C项错误；因－60°是小于 90°的角，但它不是
锐角，故 D项错误．综上，选 B．
2．给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于 180°的角是钝角、直角或锐
角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
[解析]①锐角是大于 0°且小于 90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于 180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．
3．下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③钝角比第三象限角小；④小于 180°的角是 钝角、直角或锐角．
其中正确的结论为________(填序号)．
[解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；
④0°角小于 180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
4．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边与始边重合的角是零角
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
[解析]A错，若一内角为 90°，则不属于任何象限；B错，钝角一定是第二象限角；C错，
若角的终边作了旋转，则不是零角；D对．
5．已知集合 A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于 90°的角}，则下面关系正确的是(　
)
A．A＝B＝C　　　 B．A⊆C
C．A∩C＝B D．B∪C⊆C
[解析]由已知得 B C，所以 B∪C＝C，故D正确．
6．设 A＝{小于 90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于 90°而不小于 0°的角}，
那么有(　　)
A．B C A B．B A C C．D (A∩C) D．C∩D＝B
[解析]显然第一象限角不是都小于 90°，且小于 90°的角不都在第一象限，故 A，B错；0°
不属于任何象限，故 C错；锐角为小于 90°而大于 0°的角，∴C∩D＝B，选 D.
7．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；② 225°是第三象限角；③ 475°是第二象限
角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　B．2个 C．3个　　　D．4个
[解析]－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以这四个命题都是正确的．
8．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第四象限的角一定是负角
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