《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题41 函数模型的应用(原卷版)

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专题 41 函数模型的应用

1．常用函数模型

常

用

函

数

模

型

(1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0 且a≠1)

(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0 且a≠1)

(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

(6)分段函数模型 y＝

2．函数模型应用的两个方面

(1)利用已知函数模型解决问题．

(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预

测．

3．用函数模型解决实际问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选

择模型．

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．

(3)求模：求解函数模型，得到数学结论．

(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．

可将这些步骤用框图表示如下：

4．数据拟合

(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观

察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些

数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实

际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．

(2)数据拟合的步骤

①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；

②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；

③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；

④做必要的检验．

题型一函数模型的选择问题

1．如表是函数值 y随自变量 x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)

x4 5 6 7 8 9 10

y15 17 19 21 23 25 27

A.一次函数模型　　 B．二次函数模型

C．指数函数模型 D．对数函数模型

2．有一组实验数据如下表所示：

t1.99 3.0 4.0 5.1 6.12

u1.5 4.04 7.5 12 18.01

则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)

A．u＝log2t B．u＝2t－2 C．u＝ D．u＝2t－2

3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数 y＝kax(k∈R，a>0 且a≠1)的模型的是(　　)

A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关

系(不计空气阻力)

B．我国人口年自然增长率为 1%时，我国人口总数与年份的关系

C．如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度

与时间 t的函数关系

D．信件的邮资与其重量间的函数关系

4．如图所示，点 P在边长为 1的正方形的边上运动，M是CD 的中点．当点 P沿路线 A－

B－C－M运动时，点 P经过的路程 x与△APM 的面积 y之间的函数 y＝f(x)的图象大致是(

)

5．某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在

生源利润达到 5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随生源利润x(单位：

万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励

模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？

6．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015 年、2016 年、201

7年大气中的 CO2浓度分别比 2014 年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数

模型每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数 f(x)＝

px2＋qx＋r(其中 p，q，r为常数)或函数 g(x)＝a·bx＋c(其中 a，b，c为常数)，又知2018 年

大气中的 CO2浓度比2014 年增加了16.5 个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？

7．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10 万元～1000 万元(包含 10 万元

和1000 万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y(单位：

万元)随投资收益 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于 1万元，同时不超过投资收益

的20%.

(1)设奖励方案的函数模型为 f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；

(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：

①f(x)＝＋2；② f(x)＝4lg x－2.

试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．

题型二利用已知函数模型解决实际问题

1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动

物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数

量为 100 只，则第7年它们发展到(　　)

A．300 只　　　　B．400 只 C．600 只 D．700 只

2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图

中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)

A．310 元 B．300 元 C．390 元 D．280 元

3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y

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