《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题41 函数模型的应用(解析版)

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专题 41 函数模型的应用

1．常用函数模型

常

用

函

数

模

型

(1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0 且a≠1)

(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0 且a≠1)

(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

(6)分段函数模型 y＝

2．函数模型应用的两个方面

(1)利用已知函数模型解决问题．

(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预

测．

3．用函数模型解决实际问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选

择模型．

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．

(3)求模：求解函数模型，得到数学结论．

(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．

可将这些步骤用框图表示如下：

4．数据拟合

(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观

察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些

数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实

际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．

(2)数据拟合的步骤

①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；

②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；

③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；

④做必要的检验．

题型一函数模型的选择问题

1．如表是函数值 y随自变量 x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)

x4 5 6 7 8 9 10

y15 17 19 21 23 25 27

A.一次函数模型　　 B．二次函数模型

C．指数函数模型 D．对数函数模型

[解析]　自变量每增加 1函数值增加 2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选

2．有一组实验数据如下表所示：

t1.99 3.0 4.0 5.1 6.12

u1.5 4.04 7.5 12 18.01

则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)

A．u＝log2t B．u＝2t－2 C．u＝ D．u＝2t－2

[解析]可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型

来刻画它，散点图如图所示．

由散点图可知，图象不是直线，排除选项 D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项

A；当 t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除 B，故选 C.

3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数 y＝kax(k∈R，a>0 且a≠1)的模型的是(　　)

A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关

系(不计空气阻力)

B．我国人口年自然增长率为 1%时，我国人口总数与年份的关系

C．如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度

与时间 t的函数关系

D．信件的邮资与其重量间的函数关系

[解析]A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比

例函数；D中的函数模型是一次函数．故选 B．

4．如图所示，点 P在边长为 1的正方形的边上运动，M是CD 的中点．当点 P沿路线 A－

B－C－M运动时，点 P经过的路程 x与△APM 的面积 y之间的函数 y＝f(x)的图象大致是(

)

[解析]由题意得，当 0<x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；

当1<x≤2时，S△APM＝S梯形 ABCM－S△ABP－S△PCM＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋；

当2<x<时，S△APM＝××1＝－x＋.结合各选项可知，A选项符合题意．

5．某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在

生源利润达到 5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随生源利润x(单位：

万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励

模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？

[解析]借助工具作出函数 y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)，观察图象

可知，

在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线 y＝3的上方，只有 y＝log5x的

图象始终在

y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型 y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．

6．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015 年、2016 年、201

7年大气中的 CO2浓度分别比 2014 年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数

模型每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数 f(x)＝

px2＋qx＋r(其中 p，q，r为常数)或函数 g(x)＝a·bx＋c(其中 a，b，c为常数)，又知2018 年

大气中的 CO2浓度比2014 年增加了16.5 个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？

[解析]若以 f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，

则依题意，得解得∴f(x)＝x2＋x.

若以 g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，则解得∴g(x)＝·x－3.

利用 f(x)，g(x)对2018 年CO2浓度作估算，

则其数值分别为 f(4)＝10 单位，g(4)＝10.5 单位，∵|f(4)－16.5|>|g(4)－16.5|，

故g(x)＝·x－3作模拟函数与 2018 年的实际数据较为接近，用 g(x)＝·x－3作模拟函数较好.

7．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10 万元～1000 万元(包含 10 万元

和1000 万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y(单位：

万元)随投资收益 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于 1万元，同时不超过投资收益

的20%.

(1)设奖励方案的函数模型为 f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；

(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：

①f(x)＝＋2；② f(x)＝4lg x－2.

试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．

[解析] (1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是：

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