《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题40 用二分法求方程的近似解(原卷版)

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专题 40 用二分法求方程的近似解
知识点 一 二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)＜0的函数 y＝f(x)，通过不断地把它的零点
所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫
做二分法．
知识点 二 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度 ε，用二分法求函数 y＝f(x)零点 x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点 x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点 C
．
(3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c就是函数的零点；
②若 f(a)f(c)＜0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；
③若 f(c)f(b)＜0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝C
．
(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
知识点三 新知拓展
1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点 (曲线通过零点时，函数值
的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求
函数 f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．
2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区
间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．
3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就
是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．
4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点 x0的满足精确度 ε的近似值．为了方
便，这里统一取区间端点 a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比
如得数是 1.25 或1.34，精确到 0.1 都是通过四舍五入后保留一位小数得 1.3.而“精确度为 0.
1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若
精确度为 0.1，则近似值可以是 1.25，也可以是 1.34.
5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且 f(a)·f(b)<0.
6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如 f
(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如 F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，
然后按照用二分法求函数 F(x)零点近似值的步骤求解．
题型一 二分法的适用条件
1．下列图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)
2．已知函数 f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　
)
A．4,4　　　B．3,4　　　C．5,4　　　 D．4,3
3．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是(　　)
4．下列函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A　 　B　　　 　C　　　　D
5．已知函数 y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
6．用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
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